Resumen de Fórmulas de Sucesiones

Las fórmulas de sucesiones son expresiones que nos permiten encontrar rápidamente el término $n$ o la suma de los primeros $n$ términos en una sucesión que sigue una regla. En los exámenes, lo más común es que pregunten por las fórmulas de sucesiones aritméticas y geométricas, así que lo primero es distinguir si "la diferencia es constante" o si "la razón es constante".

Aquí tienes las cuatro fórmulas clave para aplicar de inmediato.

Resumen de Fórmulas de Sucesiones

En una sucesión aritmética, si la diferencia común es $d$:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}\{2a_1 + (n-1)d\}$

En una sucesión geométrica, si la razón común es $r$:

$a_n = a_1 r^{n-1}$

$S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r} \quad \text{if } r \ne 1$

Y si $r = 1$, entonces todos los términos son $a_1$, por lo que:

$S_n = na_1$

En estas fórmulas, $a_n$ es el término $n$ y $S_n$ es la suma desde el primer término hasta el término $n$. Es fundamental verificar qué es lo que pide el problema para no confundir las fórmulas.

Cómo diferenciar entre Sucesiones Aritméticas y Geométricas

Una sucesión aritmética es aquella donde la diferencia entre dos términos consecutivos es constante. Por ejemplo, en $3, 7, 11, 15, \dots$, el valor aumenta siempre en $4$, por lo que la diferencia común es $d=4$.

Una sucesión geométrica es aquella donde la razón entre dos términos consecutivos es constante. Por ejemplo, en $2, 6, 18, 54, \dots$, cada término es $3$ veces el anterior, por lo que la razón común es $r=3$.

Este paso es el más importante. Si usas una fórmula geométrica cuando la diferencia es constante, o una aritmética cuando la razón es constante, todos los cálculos posteriores estarán mal.

Intuición detrás de las fórmulas

El término general de una sucesión aritmética, $a_n = a_1 + (n-1)d$, es el resultado de sumar la diferencia común $n-1$ veces al primer término. Imagina que cada vez que avanzas un lugar, sumas la misma cantidad.

El término general de una sucesión geométrica, $a_n = a_1r^{n-1}$, es el resultado de multiplicar el primer término por la razón común $n-1$ veces. Es una estructura donde el valor crece o decrece según una proporción fija en cada paso.

Por eso, las sucesiones aritméticas cambian con un ancho constante, mientras que en las geométricas el cambio es acumulativo. Eso sí, en las sucesiones geométricas, si la razón es $0 < r < 1$, los términos se vuelven cada vez más pequeños.

Ejemplo: Hallar el término general y la suma

Analicemos la sucesión $5, 8, 11, 14, \dots$.

Como la diferencia es siempre $3$, es una sucesión aritmética donde el primer término es $a_1=5$ y la diferencia común es $d=3$.

Hallar el décimo término

Usando la fórmula del término general de la sucesión aritmética:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

Por lo tanto:

$a_{10} = 5 + (10-1) \cdot 3 = 5 + 27 = 32$

Es decir, el décimo término es $32$.

Hallar la suma de los primeros 10 términos

Usando la fórmula de la suma:

$S_n = \frac{n}{2}(a_1+a_n)$

Sustituimos $n=10$, $a_1=5$ y $a_{10}=32$:

$S_{10} = \frac{10}{2}(5+32) = 5 \cdot 37 = 185$

La clave de este ejemplo es distinguir los símbolos. $a_{10}$ representa un solo término, mientras que $S_{10}$ es el valor de la suma de los primeros 10. Debes leer bien si el problema pide el "décimo término" o la "suma de los primeros 10 términos".

Errores comunes al usar fórmulas de sucesiones

Confundir el término general con la fórmula de la suma

Es muy común usar la fórmula de $S_n$ cuando se debe calcular $a_n$, o viceversa: calcular solo el término general y dar el problema por terminado cuando se pedía la suma. Verifica siempre si piden "qué término" o "la suma de cuántos términos".

Tratar una sucesión geométrica como aritmética

Por ejemplo, en $2, 4, 8, 16, \dots$, la diferencia no es constante, por lo que no es una sucesión aritmética. En estos casos, debes analizar la razón.

Olvidar las condiciones de la suma geométrica

La fórmula $S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$ solo se puede usar directamente cuando $r \ne 1$. Si $r=1$, el denominador se vuelve $0$, por lo que debe manejarse de forma distinta.

Olvidar el $n-1$

En la fórmula del término general, $a_n$ debe representar el estado en el que no te has movido desde el primer término, es decir, $n=1$. Por eso, tanto en las aritméticas como en las geométricas, aparece el $n-1$.

¿Cuándo se utilizan estas fórmulas?

Además de en los exámenes escolares, estas fórmulas se usan para describir situaciones con incrementos constantes o tasas de repetición. Por ejemplo, un ahorro que aumenta mensualmente la misma cantidad se puede modelar como una sucesión aritmética, y un fenómeno que crece o decrece en una proporción fija se modela como una sucesión geométrica.

Sin embargo, debes revisar las condiciones para saber si la situación real se comporta exactamente de forma aritmética o geométrica. Las fórmulas solo se aplican si la regla se cumple estrictamente.

Pasos para resolver problemas de sucesiones

Normalmente, puedes resolver los problemas siguiendo este orden:

1. Verifica si la diferencia es constante o si la razón es constante.
2. Confirma si el valor que buscas es $a_n$ o $S_n$.
3. Si es aritmética, halla $d$; si es geométrica, halla $r$.
4. Sustituye los valores en la fórmula correspondiente.

Ejercicios recomendados

En la sucesión de ejemplo $5, 8, 11, 14, \dots$, intenta calcular por tu cuenta $a_{20}$ y $S_{20}$. Después, aplica las mismas preguntas a la sucesión geométrica $3, 6, 12, 24, \dots$; así verás más claramente cuándo cambia el uso de la fórmula del término general frente a la de la suma.