Sucesiones y series — PA, PG, PH y convergencia

Una sucesión es una lista ordenada de números. Una serie es lo que obtienes al sumar términos de esa lista. En este tema, PA significa progresión aritmética, PG significa progresión geométrica, PH significa progresión armónica, y la convergencia pregunta si los términos o las sumas parciales se acercan a un valor finito.

Si necesitas la versión corta: una PA tiene una diferencia constante, una PG tiene una razón constante y una PH es una sucesión cuyos recíprocos forman una PA. En las series geométricas infinitas, la suma existe solo cuando $|r| < 1$.

Sucesión vs. serie: identifica qué pregunta estás respondiendo

Si escribes la lista

$$2,\ 5,\ 8,\ 11,\dots$$

tienes una sucesión. Si escribes la suma

$$2 + 5 + 8 + 11 + \dots$$

tienes una serie.

Esa diferencia te dice qué herramienta usar. “Hallar el término $n$-ésimo” es una pregunta de sucesiones. “Hallar la suma de los primeros $n$ términos” es una pregunta de series.

PA, PG y PH: cómo identificar cada patrón

Progresión aritmética (PA)

Una PA cambia en la misma cantidad en cada paso. Si el primer término es $a$ y la diferencia común es $d$, entonces

$$a_n = a + (n-1)d$$

y la suma de los primeros $n$ términos es

$$S_n = \frac{n}{2}\left[2a + (n-1)d\right]$$

o, de forma equivalente,

$$S_n = \frac{n}{2}(a + a_n)$$

Ejemplo: $4, 7, 10, 13, \dots$ es una PA porque cada término aumenta en $3$.

Progresión geométrica (PG)

Una PG cambia por el mismo factor en cada paso. Si el primer término es $a$ y la razón común es $r$, entonces

$$a_n = ar^{n-1}$$

y para $r \ne 1$,

$$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$$

Para una serie geométrica infinita, la suma existe solo cuando $|r| < 1$. En ese caso,

$$S_{\infty} = \frac{a}{1-r}$$

Ejemplo: $3, 6, 12, 24, \dots$ es una PG porque cada término se multiplica por $2$.

Progresión armónica (PH)

Una PH se define mediante recíprocos. Una sucesión no nula $a_1, a_2, a_3, \dots$ está en PH si

$$\frac{1}{a_1},\ \frac{1}{a_2},\ \frac{1}{a_3},\dots$$

es una PA.

Así que, si

$$\frac{1}{a_n} = A + (n-1)d$$

con denominador distinto de cero, entonces

$$a_n = \frac{1}{A + (n-1)d}$$

Ejemplo: $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{6}, \frac{1}{8}, \dots$ es una PH porque sus recíprocos $2, 4, 6, 8, \dots$ forman una PA.

La PH es principalmente una idea de clasificación en las matemáticas escolares. A diferencia de la PA y la PG, no viene con una fórmula de suma introductoria estándar que se use en la mayoría de los problemas básicos.

Convergencia: cuándo un proceso infinito tiene un límite finito

Una sucesión converge si sus términos se acercan a un límite fijo.

Por ejemplo,

$$\frac{1}{n} \to 0 \quad \text{cuando } n \to \infty$$

así que la sucesión $\left(\frac{1}{n}\right)$ converge a $0$.

Una serie converge si sus sumas parciales se acercan a un límite fijo. Si

$$S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$$

y los números $S_n$ se acercan a algún valor finito $S$, entonces la serie infinita converge a $S$.

Este es el punto que muchos estudiantes pasan por alto: una sucesión convergente no produce automáticamente una serie convergente. Que los términos tiendan a $0$ es necesario para la convergencia de una serie, pero esa condición por sí sola no basta.

Por ejemplo, la sucesión armónica

$$1,\ \frac{1}{2},\ \frac{1}{3},\ \frac{1}{4},\dots$$

sí converge a $0$ como sucesión de términos, pero la serie armónica

$$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dots$$

no converge a una suma finita.

Ejemplo resuelto: comprobar una PG y sumar la serie infinita

Considera la serie geométrica infinita

$$6 + 3 + \frac{3}{2} + \frac{3}{4} + \dots$$

Esta proviene de la PG

$$6,\ 3,\ \frac{3}{2},\ \frac{3}{4},\dots$$

Aquí el primer término es $a = 6$ y la razón común es

$$r = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$

Como $|r| = \frac{1}{2} < 1$, la serie infinita converge. Su suma es

$$S_{\infty} = \frac{a}{1-r} = \frac{6}{1-\frac{1}{2}} = \frac{6}{\frac{1}{2}} = 12$$

El paso clave es comprobar la condición antes de usar la fórmula. Si $|r| < 1$, una serie geométrica infinita converge. Si $|r| \ge 1$, no converge a una suma finita.

Errores comunes con sucesiones, series y convergencia

Confundir un término con una suma

El término $a_5$ y la suma $S_5$ no son el mismo tipo de respuesta. Uno es un término de una lista. El otro es un total.

Usar una prueba de diferencia en una PG

Si el patrón es multiplicar por $2$, es geométrico aunque los números aumenten de forma regular. Diferencia constante y razón constante son pruebas distintas.

Olvidar la condición de convergencia para una PG infinita

La fórmula

$$S_{\infty} = \frac{a}{1-r}$$

funciona solo cuando $|r| < 1$.

Pensar que “los términos van a cero” es suficiente

Para series, eso es solo una primera comprobación. La serie armónica es el contraejemplo clásico.

Tratar una PH como “cualquier cosa con fracciones”

Una PH no es solo una sucesión de fracciones. Sus recíprocos deben formar una PA.

Dónde se usan la PA, la PG, la PH y la convergencia

La PA modela un cambio aditivo constante, como ahorrar la misma cantidad cada mes. La PG modela una multiplicación repetida, como el crecimiento compuesto o la disminución repetida. La PH aparece en el álgebra escolar y en problemas donde las relaciones recíprocas son el patrón natural.

La convergencia importa siempre que el proceso sea infinito o muy largo. Aparece en series infinitas, métodos de aproximación, finanzas y temas posteriores como series de potencias y cálculo.

Prueba un problema similar

Toma la PG

$$8,\ 4,\ 2,\ 1,\dots$$

Halla la razón común y luego decide si la serie infinita $8 + 4 + 2 + 1 + \dots$ converge. Después, compárala con la PA $8, 4, 0, -4, \dots$ para ver qué tan rápido la prueba de “diferencia vs. razón” separa los dos patrones.

Si quieres dar el siguiente paso, prueba tu propia versión con un primer término y una razón distintos, y comprueba la condición de convergencia antes de calcular cualquier suma infinita.