Αρχή του Αρχιμήδη — Τύπος Άνωσης και Παραδείγματα

Η αρχή του Αρχιμήδη λέει ότι ένα σώμα που είναι μερικώς ή πλήρως βυθισμένο δέχεται μια προς τα πάνω δύναμη ίση με το βάρος του ρευστού που εκτοπίζει. Αυτή η προς τα πάνω δύναμη λέγεται δύναμη άνωσης. Σε πολλά εισαγωγικά προβλήματα φυσικής, την υπολογίζεις με

$$F_b = \rho_{\mathrm{fluid}} g V_{\mathrm{displaced}}$$

όπου $F_b$ είναι η δύναμη άνωσης, $\rho_{\mathrm{fluid}}$ είναι η πυκνότητα του ρευστού, $g$ είναι η επιτάχυνση της βαρύτητας και $V_{\mathrm{displaced}}$ είναι ο όγκος του ρευστού που εκτοπίζεται. Αυτή η μορφή ισχύει όταν η πυκνότητα του ρευστού στην εκτοπισμένη περιοχή μπορεί να θεωρηθεί γνωστή και το $g$ είναι περίπου ομοιόμορφο.

Τι Σου Λέει Πραγματικά η Αρχή του Αρχιμήδη

Η αρχή δεν λέει ότι κάθε σώμα επιπλέει. Λέει ότι κάθε βυθισμένο σώμα δέχεται μια προς τα πάνω δύναμη άνωσης.

Το τι θα συμβεί μετά εξαρτάται από το πώς συγκρίνεται αυτή η προς τα πάνω δύναμη με το βάρος του σώματος:

• δύναμη άνωσης προς τα πάνω
• βάρος προς τα κάτω

Αν η δύναμη άνωσης είναι μεγαλύτερη από το βάρος του σώματος, το σώμα τείνει να ανέβει. Αν είναι μικρότερη, το σώμα τείνει να βυθιστεί. Αν οι δύο δυνάμεις είναι ίσες και οι υπόλοιπες δυνάμεις ισορροπούν, το σώμα μπορεί να παραμείνει σε ισορροπία.

Για ένα σώμα που επιπλέει και είναι ακίνητο, η δύναμη άνωσης είναι ίση με το βάρος του σώματος. Γι’ αυτό ένα επιπλέον σώμα σταθεροποιείται σε τέτοιο βάθος ώστε να εκτοπίζει ακριβώς όσο ρευστό χρειάζεται.

Γιατί η Δύναμη Άνωσης Έχει Κατεύθυνση Προς τα Πάνω

Η πίεση του ρευστού συνήθως αυξάνεται με το βάθος. Επομένως, το κάτω μέρος ενός βυθισμένου σώματος δέχεται μεγαλύτερη ώθηση από το πάνω μέρος.

Αυτή η διαφορά πίεσης δημιουργεί μια συνισταμένη δύναμη προς τα πάνω. Η αρχή του Αρχιμήδη σου δίνει έναν σύντομο τρόπο να βρεις αυτή τη δύναμη χωρίς να αθροίζεις την πίεση σε κάθε σημείο της επιφάνειας.

Λυμένο Παράδειγμα: Δύναμη Άνωσης σε Βυθισμένο Μπλοκ

Ένα μεταλλικό μπλοκ είναι πλήρως βυθισμένο σε γλυκό νερό και εκτοπίζει $0.005\ \mathrm{m^3}$ νερού. Χρησιμοποίησε

• $\rho_{\mathrm{water}} = 1000\ \mathrm{kg/m^3}$
• $g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}$

Τότε

$$F_b = \rho_{\mathrm{fluid}} g V_{\mathrm{displaced}}$$

γίνεται

$$F_b = (1000)(9.8)(0.005) = 49\ \mathrm{N}$$

Άρα το νερό ασκεί προς τα πάνω στο μπλοκ δύναμη άνωσης $49\ \mathrm{N}$.

Αν το βάρος του μπλοκ είναι $60\ \mathrm{N}$, το βάρος του είναι μεγαλύτερο από τη δύναμη άνωσης, άρα τείνει να βυθιστεί. Αν το βάρος του είναι $49\ \mathrm{N}$, οι δυνάμεις ισορροπούν, άρα μπορεί να βρίσκεται σε ισορροπία μέσα σε αυτό το ρευστό.

Αυτό το παράδειγμα δείχνει τη βασική ιδέα: η δύναμη άνωσης καθορίζεται από το ρευστό και τον εκτοπιζόμενο όγκο. Το αν το σώμα ανεβαίνει ή βυθίζεται εξακολουθεί να εξαρτάται από το βάρος του.

Γιατί τα Επιπλέοντα Σώματα Εκτοπίζουν Όσο Ρευστό Χρειάζεται

Αν ένα σώμα επιπλέει και είναι ακίνητο, το βάρος του πρέπει να είναι ίσο με τη δύναμη άνωσης. Αυτό σημαίνει ότι το σώμα εκτοπίζει ακριβώς τόσο ρευστό ώστε το βάρος του εκτοπισμένου ρευστού να είναι ίσο με το βάρος του σώματος.

Γι’ αυτό ένα ατσάλινο πλοίο μπορεί να επιπλέει, παρόλο που το ίδιο το ατσάλι είναι πυκνότερο από το νερό. Το σχήμα του πλοίου τού επιτρέπει να εκτοπίζει μεγάλο όγκο νερού πριν το κύτος βυθιστεί πλήρως.

Συνηθισμένα Λάθη με τον Τύπο της Άνωσης

Χρήση της πυκνότητας του σώματος στον τύπο της άνωσης

Ο τύπος χρησιμοποιεί την πυκνότητα του ρευστού. Η πυκνότητα του σώματος παίζει ρόλο στο αν επιπλέει ή βυθίζεται, αλλά όχι άμεσα στο $F_b = \rho_{\mathrm{fluid}} g V_{\mathrm{displaced}}$.

Χρήση του συνολικού όγκου όταν το σώμα είναι μόνο μερικώς βυθισμένο

Για ένα σώμα που επιπλέει, ο εκτοπιζόμενος όγκος είναι μόνο το βυθισμένο μέρος. Ο συνολικός όγκος του σώματος είναι σωστός μόνο όταν το σώμα είναι πλήρως βυθισμένο.

Αντιμετώπιση της δύναμης άνωσης σαν να είναι το ίδιο με τη συνισταμένη δύναμη

Η δύναμη άνωσης είναι μία δύναμη. Η κίνηση του σώματος εξαρτάται από τη συνισταμένη δύναμη αφού συγκρίνεις την άνωση με το βάρος και με οποιεσδήποτε άλλες σχετικές δυνάμεις.

Παράβλεψη των συνθηκών του μοντέλου

Σε πολλά σχολικά προβλήματα, η πυκνότητα του ρευστού θεωρείται σταθερή. Σε πιο σύνθετες περιπτώσεις, όπως όταν η πυκνότητα μεταβάλλεται έντονα με το βάθος, ο απλός τύπος εξακολουθεί να προκύπτει από τις ιδέες της πίεσης, αλλά η διατύπωση του προβλήματος μπορεί να χρειάζεται πιο προσεκτική αντιμετώπιση.

Πού Χρησιμοποιείται η Αρχή του Αρχιμήδη

Η αρχή του Αρχιμήδη χρησιμοποιείται στον σχεδιασμό πλοίων, στα υποβρύχια, στα υδρόμετρα, στα αερόστατα θερμού αέρα και γενικότερα στη στατική των ρευστών. Είναι ένας από τους πιο γρήγορους τρόπους να συνδέσεις την πίεση, την πυκνότητα και την ισορροπία σε ένα φυσικό σύστημα.

Είναι επίσης μια πρακτική συντόμευση. Αν γνωρίζεις τον εκτοπιζόμενο όγκο και την πυκνότητα του ρευστού, μπορείς να εκτιμήσεις τη δύναμη στήριξης χωρίς να μοντελοποιήσεις ολόκληρο το πεδίο πίεσης.

Δοκίμασε Ένα Παρόμοιο Πρόβλημα Άνωσης

Κράτησε τον εκτοπιζόμενο όγκο στα $0.005\ \mathrm{m^3}$, αλλά άλλαξε το ρευστό από νερό σε λάδι ή θαλασσινό νερό. Εφόσον μόνο το $\rho_{\mathrm{fluid}}$ αλλάζει στον τύπο, μπορείς να δεις αμέσως πώς η πυκνότητα του ρευστού αλλάζει την προς τα πάνω δύναμη. Αν θέλεις ένα χρήσιμο επόμενο βήμα, δοκίμασε τη δική σου εκδοχή με νέους αριθμούς και αποφάσισε αν το σώμα ανεβαίνει, βυθίζεται ή παραμένει σε ισορροπία.