Archimedisches Prinzip — Auftriebsformel & Beispiele

Das archimedische Prinzip besagt, dass auf einen teilweise oder vollständig eingetauchten Körper eine nach oben gerichtete Kraft wirkt, die dem Gewicht des von ihm verdrängten Fluids entspricht. Diese nach oben gerichtete Kraft nennt man Auftriebskraft. In vielen einführenden Physikaufgaben berechnet man sie mit

$$F_b = \rho_{\mathrm{fluid}} g V_{\mathrm{displaced}}$$

wobei $F_b$ die Auftriebskraft ist, $\rho_{\mathrm{fluid}}$ die Dichte des Fluids, $g$ die Erdbeschleunigung und $V_{\mathrm{displaced}}$ das verdrängte Volumen des Fluids. Diese Form gilt, wenn die Dichte des Fluids im verdrängten Bereich als bekannt angenommen werden kann und $g$ näherungsweise konstant ist.

Was das archimedische Prinzip tatsächlich aussagt

Das Prinzip sagt nicht, dass jeder Körper schwimmt. Es sagt, dass jeder eingetauchte Körper eine nach oben gerichtete Auftriebskraft erfährt.

Was danach passiert, hängt davon ab, wie diese nach oben gerichtete Kraft im Vergleich zum Gewicht des Körpers ist:

• Auftriebskraft nach oben
• Gewichtskraft nach unten

Ist die Auftriebskraft größer als das Gewicht des Körpers, steigt der Körper tendenziell auf. Ist sie kleiner, sinkt der Körper tendenziell. Sind beide gleich groß und andere Kräfte im Gleichgewicht, kann der Körper im Gleichgewicht bleiben.

Bei einem schwimmenden Körper in Ruhe ist die Auftriebskraft gleich seinem Gewicht. Deshalb stellt sich ein schwimmender Körper auf einer Tiefe ein, bei der er genau so viel Fluid verdrängt, wie nötig ist.

Warum die Auftriebskraft nach oben zeigt

Der Druck in einem Fluid nimmt normalerweise mit der Tiefe zu. Deshalb wird die Unterseite eines eingetauchten Körpers stärker gedrückt als die Oberseite.

Dieser Druckunterschied erzeugt eine resultierende Kraft nach oben. Das archimedische Prinzip gibt dir eine Abkürzung, um diese Kraft zu bestimmen, ohne den Druck auf jeden Teil der Oberfläche einzeln zu addieren.

Rechenbeispiel: Auftriebskraft auf einen eingetauchten Block

Ein Metallblock ist vollständig in Süßwasser eingetaucht und verdrängt $0.005\ \mathrm{m^3}$ Wasser. Verwende

• $\rho_{\mathrm{water}} = 1000\ \mathrm{kg/m^3}$
• $g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}$

Dann wird

$$F_b = \rho_{\mathrm{fluid}} g V_{\mathrm{displaced}}$$

zu

$$F_b = (1000)(9.8)(0.005) = 49\ \mathrm{N}$$

Das Wasser drückt also mit einer Auftriebskraft von $49\ \mathrm{N}$ nach oben auf den Block.

Wenn das Gewicht des Blocks $60\ \mathrm{N}$ beträgt, ist seine Gewichtskraft größer als die Auftriebskraft, also sinkt er tendenziell. Wenn sein Gewicht $49\ \mathrm{N}$ beträgt, sind die Kräfte im Gleichgewicht, also kann er sich in diesem Fluid im Gleichgewicht befinden.

Dieses Beispiel zeigt die zentrale Idee: Die Auftriebskraft wird durch das Fluid und das verdrängte Volumen bestimmt. Ob der Körper steigt oder sinkt, hängt trotzdem noch von seinem Gewicht ab.

Warum schwimmende Körper genau genug Fluid verdrängen

Wenn ein Körper in Ruhe schwimmt, muss sein Gewicht gleich der Auftriebskraft sein. Das bedeutet, dass der Körper genau so viel Fluid verdrängt, dass das Gewicht des verdrängten Fluids dem Gewicht des Körpers entspricht.

Deshalb kann ein Stahlschiff schwimmen, obwohl Stahl selbst dichter als Wasser ist. Die Form des Schiffs ermöglicht es, ein großes Wasservolumen zu verdrängen, bevor der Rumpf vollständig eingetaucht ist.

Häufige Fehler bei der Auftriebsformel

Die Dichte des Körpers in der Auftriebsformel verwenden

Die Formel verwendet die Dichte des Fluids. Die Dichte des Körpers ist wichtig dafür, ob er schwimmt oder sinkt, aber nicht direkt in $F_b = \rho_{\mathrm{fluid}} g V_{\mathrm{displaced}}$.

Das Gesamtvolumen verwenden, obwohl der Körper nur teilweise eingetaucht ist

Bei einem schwimmenden Körper ist das verdrängte Volumen nur der eingetauchte Teil. Das gesamte Körpervolumen ist nur dann richtig, wenn der Körper vollständig eingetaucht ist.

Auftriebskraft mit der resultierenden Kraft verwechseln

Die Auftriebskraft ist nur eine einzelne Kraft. Die Bewegung des Körpers hängt von der resultierenden Kraft ab, nachdem man den Auftrieb mit dem Gewicht und allen anderen relevanten Kräften verglichen hat.

Die Modellannahmen vergessen

In vielen Schulaufgaben wird die Dichte des Fluids als konstant behandelt. In komplexeren Fällen, etwa bei stark mit der Tiefe veränderlicher Dichte, folgt die einfache Formel zwar weiterhin aus Drucküberlegungen, aber der Ansatz muss möglicherweise sorgfältiger behandelt werden.

Wo das archimedische Prinzip verwendet wird

Das archimedische Prinzip wird im Schiffbau, bei U-Booten, Aräometern, Heißluftballons und allgemeiner in der Hydrostatik verwendet. Es ist eine der schnellsten Möglichkeiten, Druck, Dichte und Gleichgewicht in einem physikalischen System miteinander zu verknüpfen.

Es ist außerdem eine praktische Abkürzung. Wenn du das verdrängte Volumen und die Dichte des Fluids kennst, kannst du die tragende Kraft abschätzen, ohne das vollständige Druckfeld modellieren zu müssen.

Probiere eine ähnliche Auftriebsaufgabe

Lass das verdrängte Volumen bei $0.005\ \mathrm{m^3}$, aber ändere das Fluid von Wasser zu Öl oder Meerwasser. Da sich in der Formel nur $\rho_{\mathrm{fluid}}$ ändert, siehst du sofort, wie die Fluiddichte die nach oben gerichtete Kraft verändert. Als sinnvollen nächsten Schritt kannst du deine eigene Variante mit neuen Zahlen ausprobieren und entscheiden, ob der Körper steigt, sinkt oder im Gleichgewicht bleibt.