아르키메데스의 원리 — 부력 공식과 예제

아르키메데스의 원리는 유체에 부분적으로 또는 완전히 잠긴 물체가, 자신이 밀어낸 유체의 무게와 같은 크기의 위쪽 힘을 받는다고 말합니다. 이 위쪽 힘을 부력이라고 합니다. 많은 기초 물리 문제에서는 다음 식으로 부력을 계산합니다.

$$F_b = \rho_{\mathrm{fluid}} g V_{\mathrm{displaced}}$$

여기서 $F_b$는 부력, $\rho_{\mathrm{fluid}}$는 유체의 밀도, $g$는 중력가속도, $V_{\mathrm{displaced}}$는 밀어낸 유체의 부피입니다. 이 식은 밀어낸 영역에서 유체의 밀도를 알고 있다고 볼 수 있고, $g$가 거의 일정할 때 사용할 수 있습니다.

아르키메데스의 원리가 실제로 알려 주는 것

이 원리는 모든 물체가 뜬다고 말하는 것이 아닙니다. 유체에 잠긴 모든 물체가 위쪽 부력을 받는다고 말하는 것입니다.

그다음에 어떤 일이 일어나는지는 이 위쪽 힘과 물체의 무게를 어떻게 비교하느냐에 달려 있습니다.

• 위쪽 방향의 부력
• 아래쪽 방향의 무게

부력이 물체의 무게보다 크면 물체는 위로 떠오르려는 경향이 있습니다. 더 작으면 물체는 가라앉으려는 경향이 있습니다. 두 힘이 같고 다른 힘들도 균형을 이루면, 물체는 평형 상태를 유지할 수 있습니다.

정지해 떠 있는 물체의 경우, 부력은 물체의 무게와 같습니다. 그래서 떠 있는 물체는 정확히 필요한 만큼의 유체를 밀어내는 깊이에서 자리 잡게 됩니다.

왜 부력은 위쪽을 향할까

유체의 압력은 보통 깊이가 깊어질수록 커집니다. 따라서 잠긴 물체의 아래쪽은 위쪽보다 더 큰 힘으로 밀리게 됩니다.

이 압력 차이 때문에 전체적으로 위쪽 방향의 알짜힘이 생깁니다. 아르키메데스의 원리는 표면의 모든 부분에 작용하는 압력을 하나하나 더하지 않고도 그 힘을 구할 수 있게 해 주는 지름길입니다.

풀이 예제: 잠긴 블록에 작용하는 부력

금속 블록 하나가 담수에 완전히 잠겨 있고, $0.005\ \mathrm{m^3}$의 물을 밀어낸다고 합시다. 다음 값을 사용합니다.

• $\rho_{\mathrm{water}} = 1000\ \mathrm{kg/m^3}$
• $g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}$

그러면

$$F_b = \rho_{\mathrm{fluid}} g V_{\mathrm{displaced}}$$

는

$$F_b = (1000)(9.8)(0.005) = 49\ \mathrm{N}$$

가 됩니다.

따라서 물은 블록을 위쪽으로 $49\ \mathrm{N}$의 부력으로 밀어 올립니다.

블록의 무게가 $60\ \mathrm{N}$이라면, 무게가 부력보다 크므로 가라앉으려는 경향이 있습니다. 무게가 $49\ \mathrm{N}$이라면 두 힘이 같아지므로, 그 유체 안에서 평형 상태가 될 수 있습니다.

이 예제는 핵심 아이디어를 보여 줍니다. 부력은 유체와 밀어낸 부피에 의해 결정됩니다. 물체가 떠오를지 가라앉을지는 여전히 물체의 무게에 달려 있습니다.

왜 떠 있는 물체는 꼭 필요한 만큼만 유체를 밀어낼까

물체가 정지한 채 떠 있으려면, 물체의 무게가 부력과 같아야 합니다. 즉, 밀어낸 유체의 무게가 물체의 무게와 같아지도록 정확히 필요한 만큼의 유체를 밀어내야 합니다.

그래서 강철은 물보다 밀도가 크지만 강철로 만든 배는 뜰 수 있습니다. 배의 모양 덕분에 선체가 완전히 잠기기 전에 큰 부피의 물을 밀어낼 수 있기 때문입니다.

부력 공식에서 자주 하는 실수

부력 공식에 물체의 밀도를 넣는 경우

이 공식에는 유체의 밀도가 들어갑니다. 물체의 밀도는 물체가 뜨는지 가라앉는지 판단할 때 중요하지만, $F_b = \rho_{\mathrm{fluid}} g V_{\mathrm{displaced}}$에 직접 들어가지는 않습니다.

물체가 일부만 잠겼는데 전체 부피를 사용하는 경우

떠 있는 물체에서는 밀어낸 부피가 잠긴 부분의 부피만 해당합니다. 물체가 완전히 잠겼을 때만 전체 부피를 써도 맞습니다.

부력을 알짜힘과 같은 것으로 보는 경우

부력은 여러 힘 중 하나입니다. 물체의 운동은 부력, 무게, 그리고 다른 관련 힘들을 비교한 뒤의 알짜힘에 따라 결정됩니다.

모델의 조건을 잊는 경우

많은 학교 문제에서는 유체의 밀도를 일정하다고 가정합니다. 깊이에 따라 밀도가 크게 달라지는 더 복잡한 경우에도, 단순한 공식은 여전히 압력 개념에서 나오지만 문제 설정을 더 주의 깊게 다뤄야 할 수 있습니다.

아르키메데스의 원리는 어디에 쓰일까

아르키메데스의 원리는 선박 설계, 잠수함, 비중계, 열기구, 그리고 더 넓게는 유체 정역학에서 사용됩니다. 이는 물리계에서 압력, 밀도, 평형을 연결하는 가장 빠른 방법 중 하나입니다.

또한 실용적인 지름길이기도 합니다. 밀어낸 부피와 유체의 밀도를 알고 있다면, 전체 압력장을 모두 모델링하지 않고도 지지하는 힘을 추정할 수 있습니다.

비슷한 부력 문제를 직접 풀어 보기

밀어낸 부피를 $0.005\ \mathrm{m^3}$로 그대로 두고, 유체를 물 대신 기름이나 바닷물로 바꿔 보세요. 공식에서 바뀌는 것은 $\rho_{\mathrm{fluid}}$뿐이므로, 유체의 밀도가 위쪽 힘을 어떻게 바꾸는지 바로 확인할 수 있습니다. 다음 단계로는 숫자를 바꿔 자신만의 문제를 만들어 보고, 물체가 떠오르는지 가라앉는지 또는 평형을 이루는지 판단해 보세요.