Principio de Arquímedes — fórmula del empuje y ejemplos

El principio de Arquímedes dice que un objeto parcial o totalmente sumergido experimenta una fuerza hacia arriba igual al peso del fluido que desplaza. Esa fuerza hacia arriba se llama fuerza de empuje. En muchos problemas introductorios de física, se calcula con

$$F_b = \rho_{\mathrm{fluid}} g V_{\mathrm{displaced}}$$

donde $F_b$ es la fuerza de empuje, $\rho_{\mathrm{fluid}}$ es la densidad del fluido, $g$ es la aceleración gravitatoria y $V_{\mathrm{displaced}}$ es el volumen de fluido desplazado. Esta forma funciona cuando la densidad del fluido en la región desplazada puede tratarse como conocida y $g$ es aproximadamente uniforme.

Lo que realmente te dice el principio de Arquímedes

El principio no dice que todos los objetos flotan. Dice que todo objeto sumergido recibe una fuerza de empuje hacia arriba.

Lo que ocurre después depende de cómo se compare esa fuerza hacia arriba con el peso del objeto:

• fuerza de empuje hacia arriba
• peso hacia abajo

Si la fuerza de empuje es mayor que el peso del objeto, el objeto tiende a subir. Si es menor, el objeto tiende a hundirse. Si ambas son iguales y las demás fuerzas se equilibran, el objeto puede permanecer en equilibrio.

Para un objeto que flota en reposo, la fuerza de empuje es igual al peso del objeto. Por eso un objeto flotante se estabiliza a una profundidad en la que desplaza exactamente suficiente fluido.

Por qué la fuerza de empuje apunta hacia arriba

La presión del fluido normalmente aumenta con la profundidad. Por eso, la parte inferior de un objeto sumergido es empujada con más fuerza que la parte superior.

Esa diferencia de presión crea una fuerza neta hacia arriba. El principio de Arquímedes te da un atajo para hallar esa fuerza sin tener que sumar la presión sobre cada parte de la superficie.

Ejemplo resuelto: fuerza de empuje sobre un bloque sumergido

Un bloque metálico está completamente sumergido en agua dulce y desplaza $0.005\ \mathrm{m^3}$ de agua. Usa

• $\rho_{\mathrm{water}} = 1000\ \mathrm{kg/m^3}$
• $g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}$

Entonces

$$F_b = \rho_{\mathrm{fluid}} g V_{\mathrm{displaced}}$$

se convierte en

$$F_b = (1000)(9.8)(0.005) = 49\ \mathrm{N}$$

Así que el agua empuja hacia arriba al bloque con una fuerza de empuje de $49\ \mathrm{N}$.

Si el peso del bloque es $60\ \mathrm{N}$, su peso es mayor que la fuerza de empuje, así que tiende a hundirse. Si su peso es $49\ \mathrm{N}$, las fuerzas se equilibran, así que puede estar en equilibrio en ese fluido.

Este ejemplo muestra la idea clave: la fuerza de empuje está determinada por el fluido y por el volumen desplazado. Que el objeto suba o se hunda sigue dependiendo de su peso.

Por qué los objetos flotantes desplazan justo el fluido necesario

Si un objeto flota en reposo, su peso debe ser igual a la fuerza de empuje. Eso significa que el objeto desplaza exactamente suficiente fluido para que el peso del fluido desplazado iguale el peso del objeto.

Por eso un barco de acero puede flotar aunque el acero en sí sea más denso que el agua. La forma del barco le permite desplazar un gran volumen de agua antes de que el casco quede completamente sumergido.

Errores comunes con la fórmula del empuje

Usar la densidad del objeto en la fórmula del empuje

La fórmula usa la densidad del fluido. La densidad del objeto importa para saber si flota o se hunde, pero no aparece directamente en $F_b = \rho_{\mathrm{fluid}} g V_{\mathrm{displaced}}$.

Usar el volumen total cuando el objeto solo está parcialmente sumergido

Para un objeto flotante, el volumen desplazado es solo la parte sumergida. El volumen total del objeto solo es correcto cuando el objeto está completamente sumergido.

Tratar la fuerza de empuje como si fuera lo mismo que la fuerza neta

La fuerza de empuje es una sola fuerza. El movimiento del objeto depende de la fuerza neta después de comparar el empuje con el peso y con cualquier otra fuerza relevante.

Olvidar las condiciones del modelo

En muchos problemas escolares, la densidad del fluido se trata como constante. En casos más complejos, como cuando la densidad varía mucho con la profundidad, la fórmula simple sigue viniendo de las ideas de presión, pero el planteamiento puede requerir un tratamiento más cuidadoso.

Dónde se usa el principio de Arquímedes

El principio de Arquímedes se usa en el diseño de barcos, submarinos, hidrómetros, globos aerostáticos y, de forma más general, en la estática de fluidos. Es una de las maneras más rápidas de relacionar presión, densidad y equilibrio en un sistema físico.

También es un atajo práctico. Si conoces el volumen desplazado y la densidad del fluido, puedes estimar la fuerza de sostén sin modelar todo el campo de presión.

Prueba un problema similar de empuje

Mantén el volumen desplazado en $0.005\ \mathrm{m^3}$, pero cambia el fluido de agua a aceite o agua de mar. Como en la fórmula solo cambia $\rho_{\mathrm{fluid}}$, puedes ver de inmediato cómo la densidad del fluido cambia la fuerza hacia arriba. Si quieres un siguiente paso útil, prueba tu propia versión con números nuevos y decide si el objeto sube, se hunde o permanece en equilibrio.