Όγκος ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου — Τύπος και παραδείγματα

Για να βρεις τον όγκο ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου, πολλαπλασίασε το μήκος, το πλάτος και το ύψος του:

$$V = lwh$$

Αυτό ισχύει όταν τα $l$, $w$ και $h$ είναι κάθετα μεταξύ τους μήκη πλευρών του ίδιου παραλληλεπιπέδου και όλες οι μετρήσεις χρησιμοποιούν την ίδια μονάδα. Το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο λέγεται και κυβοειδές, οπότε και οι δύο ονομασίες αναφέρονται στον ίδιο τύπο.

Γιατί το $V = lwh$ ισχύει για ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο

Ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο είναι ένα στερεό σε σχήμα κουτιού με ορθογώνιες έδρες. Μπορείς να το φανταστείς ως ίδιες ορθογώνιες στρώσεις τοποθετημένες η μία πάνω στην άλλη από κάτω προς τα πάνω.

Το εμβαδόν της βάσης είναι

$$l \cdot w$$

Αν αυτή η ίδια βάση εκτείνεται σε ύψος $h$, τότε ο όγκος είναι

$$V = (l \cdot w)h = lwh$$

Άρα η βασική ιδέα είναι απλή: ο όγκος ισούται με το εμβαδόν της βάσης επί το ύψος. Για ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, η βάση είναι ορθογώνιο, οπότε το εμβαδόν της βάσης βρίσκεται εύκολα.

Λυμένο παράδειγμα: $8$ cm επί $5$ cm επί $3$ cm

Έστω ότι ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο έχει μήκος $8$ cm, πλάτος $5$ cm και ύψος $3$ cm. Να βρεθεί ο όγκος του.

Χρησιμοποίησε τον τύπο:

$$V = lwh$$

Αντικατάστησε τις τιμές:

$$V = 8 \cdot 5 \cdot 3$$

Πολλαπλασίασε:

$$V = 120$$

Άρα ο όγκος είναι

$$V = 120 \text{ cm}^3$$

Η απάντηση γράφεται σε κυβικά εκατοστά και όχι σε εκατοστά, επειδή ο όγκος μετρά τρισδιάστατο χώρο.

Συνηθισμένα λάθη στον όγκο ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου

1. Ανάμειξη μονάδων. Αν μία πλευρά είναι σε μέτρα και μια άλλη σε εκατοστά, κάνε πρώτα μετατροπή πριν πολλαπλασιάσεις.
2. Χρήση τετραγωνικών μονάδων αντί για κυβικές μονάδες. Ο όγκος πρέπει να γράφεται με μονάδες όπως $\text{cm}^3$ ή $\text{m}^3$.
3. Σύγχυση του όγκου με το εμβαδόν επιφάνειας. Ο όγκος μετρά τον χώρο μέσα στο παραλληλεπίπεδο, ενώ το εμβαδόν επιφάνειας μετρά το συνολικό εμβαδόν των εξωτερικών εδρών.
4. Χρήση του τύπου σε λάθος διαστάσεις. Ο τύπος χρειάζεται το κάθετο μεταξύ τους μήκος, πλάτος και ύψος του παραλληλεπιπέδου.

Πότε να χρησιμοποιήσεις αυτόν τον τύπο

Χρησιμοποίησε αυτόν τον τύπο όταν ένα αντικείμενο μπορεί να μοντελοποιηθεί ως ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, όπως ένα κουτί αποστολής, ένα ενυδρείο, ένα δοχείο αποθήκευσης ή ένα δωμάτιο.

Αν το πραγματικό αντικείμενο έχει μόνο περίπου σχήμα κουτιού, τότε και το αποτέλεσμα θα είναι προσεγγιστικό. Ο τύπος παραμένει χρήσιμος όταν χρειάζεσαι μια γρήγορη εκτίμηση χωρητικότητας.

Δοκίμασε ένα παρόμοιο πρόβλημα

Δοκίμασε ένα παραλληλεπίπεδο με μήκος $12$ cm, πλάτος $4$ cm και ύψος $7$ cm. Πολλαπλασίασε τα τρία μήκη των πλευρών και μετά έλεγξε αν η τελική μονάδα σου είναι κυβική.

Έπειτα άλλαξε μόνο μία διάσταση, όπως το ύψος από $7$ cm σε $14$ cm, και σύγκρινε τον νέο όγκο. Αυτός είναι ένας γρήγορος τρόπος να δεις πώς αλλάζει ο όγκος όταν αλλάζει μία πλευρά και οι άλλες μένουν σταθερές.