直方体の体積 — 公式と例題

直方体の体積は、縦・横・高さを掛け合わせて求めます。

$$V = lwh$$

この式は、$l$、$w$、$h$ が同じ直方体の互いに垂直な辺の長さであり、すべての測定値が同じ単位で表されているときに使えます。Rectangular prism は cuboid とも呼ばれ、どちらも同じ立体と同じ公式を指します。

なぜ直方体では $V = lwh$ になるのか

直方体は、面がすべて長方形の箱のような立体です。底から上まで、同じ長方形の層が積み重なっていると考えることができます。

底面積は

$$l \cdot w$$

です。

この同じ底面が高さ $h$ だけ続いているので、体積は

$$V = (l \cdot w)h = lwh$$

となります。

つまり、基本の考え方はシンプルで、体積は「底面積 × 高さ」です。直方体では底面が長方形なので、底面積も簡単に求められます。

例題：$8$ cm × $5$ cm × $3$ cm

ある直方体の縦が $8$ cm、横が $5$ cm、高さが $3$ cm だとします。体積を求めましょう。

公式を使います。

$$V = lwh$$

値を代入すると、

$$V = 8 \cdot 5 \cdot 3$$

掛け算して、

$$V = 120$$

したがって、体積は

$$V = 120 \text{ cm}^3$$

です。

答えの単位が cm ではなく立方センチメートルになるのは、体積が三次元の空間の大きさを表すからです。

直方体の体積でよくある間違い

1. 単位を混ぜてしまうこと。1つの辺がメートル、別の辺がセンチメートルなら、掛ける前に単位をそろえましょう。
2. 平方単位を書いてしまうこと。体積の単位は $\text{cm}^3$ や $\text{m}^3$ のような立方単位です。
3. 体積と表面積を混同すること。体積は直方体の内部の空間の大きさで、表面積は外側の面すべての面積の合計です。
4. 間違った長さを使うこと。この公式で必要なのは、互いに垂直な縦・横・高さです。

この公式を使う場面

この公式は、物体を直方体として考えられるときに使います。たとえば、配送用の箱、水槽、収納ケース、部屋などです。

実際の物体が完全な箱形ではなく、おおよそ直方体に見なせる場合、結果も近似値になります。それでも、おおまかな容量をすばやく見積もりたいときには便利な公式です。

似た問題に挑戦してみよう

縦が $12$ cm、横が $4$ cm、高さが $7$ cm の直方体でも試してみましょう。3つの辺の長さを掛けて、最後の単位が立方単位になっているか確認してください。

次に、高さを $7$ cm から $14$ cm に変えるなど、1つの長さだけを変えて新しい体積を比べてみましょう。そうすると、ほかの辺を固定したまま1つの辺だけが変わると体積がどう変化するかがすぐにわかります。