직육면체의 부피 — 공식과 예제

직육면체의 부피를 구하려면 길이, 너비, 높이를 곱하면 됩니다:

$$V = lwh$$

이 공식은 $l$, $w$, $h$가 같은 직육면체의 서로 수직인 변의 길이이고, 모든 측정값이 같은 단위를 사용할 때 성립합니다. 직육면체는 cuboid라고도 하므로, 두 이름은 같은 공식을 가리킵니다.

직육면체에서 $V = lwh$가 성립하는 이유

직육면체는 모든 면이 직사각형인 상자 모양의 입체도형입니다. 아래에서 위로 똑같은 직사각형 층이 차곡차곡 쌓인 모습으로 생각할 수 있습니다.

밑면의 넓이는

$$l \cdot w$$

입니다.

이 밑면이 높이 $h$만큼 그대로 이어지면, 부피는

$$V = (l \cdot w)h = lwh$$

가 됩니다.

즉 핵심 아이디어는 간단합니다. 부피는 밑면의 넓이에 높이를 곱한 값입니다. 직육면체의 밑면은 직사각형이므로 밑면의 넓이도 쉽게 구할 수 있습니다.

풀이 예제: $8$ cm, $5$ cm, $3$ cm

어떤 직육면체의 길이가 $8$ cm, 너비가 $5$ cm, 높이가 $3$ cm라고 합시다. 이 직육면체의 부피를 구해 봅시다.

공식을 사용하면

$$V = lwh$$

값을 대입하여

$$V = 8 \cdot 5 \cdot 3$$

곱하면

$$V = 120$$

따라서 부피는

$$V = 120 \text{ cm}^3$$

입니다.

부피는 3차원 공간의 크기를 나타내므로, 답의 단위는 cm가 아니라 세제곱센티미터입니다.

직육면체 부피에서 자주 하는 실수

1. 단위를 섞는 것. 한 변은 미터이고 다른 변은 센티미터라면, 곱하기 전에 먼저 단위를 맞춰야 합니다.
2. 제곱단위를 쓰는 것. 부피는 $\text{cm}^3$ 또는 $\text{m}^3$처럼 세제곱단위를 사용해야 합니다.
3. 부피와 겉넓이를 헷갈리는 것. 부피는 직육면체 내부의 공간을 나타내고, 겉넓이는 바깥쪽 모든 면의 넓이의 합을 나타냅니다.
4. 잘못된 치수를 공식에 넣는 것. 이 공식에는 직육면체의 서로 수직인 길이, 너비, 높이가 필요합니다.

이 공식을 언제 사용하나요

물체를 직육면체로 모델링할 수 있을 때 이 공식을 사용합니다. 예를 들어 택배 상자, 수족관, 수납함, 방 등이 있습니다.

실제 물체가 대략 상자 모양에 가까운 정도라면, 결과도 근삿값이 됩니다. 그래도 빠르게 용량을 추정해야 할 때는 여전히 유용한 공식입니다.

비슷한 문제를 풀어 보세요

길이가 $12$ cm, 너비가 $4$ cm, 높이가 $7$ cm인 직육면체를 생각해 보세요. 세 변의 길이를 곱한 뒤, 마지막 단위가 세제곱단위인지 확인해 보세요.

그다음 높이만 $7$ cm에서 $14$ cm로 바꿔 보고 새로운 부피를 비교해 보세요. 이렇게 하면 한 변만 바뀌고 나머지가 그대로일 때 부피가 어떻게 변하는지 빠르게 확인할 수 있습니다.