长方体的体积——公式与例题

要求长方体的体积，把它的长、宽、高相乘：

$$V = lwh$$

这个公式成立的前提是，$l$、$w$ 和 $h$ 是同一个长方体中两两垂直的边长，并且所有测量都使用相同的单位。长方体也叫 cuboid，所以这两个名称对应的是同一个公式。

为什么长方体的体积公式是 $V = lwh$

长方体是一种各个面都是长方形的立体图形。你可以把它想象成许多完全相同的长方形薄层，从下到上堆叠起来。

底面的面积是

$$l \cdot w$$

如果这个相同的底面沿着高度 $h$ 延伸，那么体积就是

$$V = (l \cdot w)h = lwh$$

所以核心思路很简单：体积等于底面积乘高。对于长方体来说，底面是长方形，因此底面积很容易求。

例题：$8$ cm × $5$ cm × $3$ cm

假设一个长方体的长是 $8$ cm，宽是 $5$ cm，高是 $3$ cm。求它的体积。

使用公式：

$$V = lwh$$

代入数值：

$$V = 8 \cdot 5 \cdot 3$$

计算：

$$V = 120$$

所以体积是

$$V = 120 \text{ cm}^3$$

答案要用立方厘米，而不是厘米，因为体积表示的是三维空间的大小。

长方体体积计算中的常见错误

1. 单位混用。如果一条边用米，另一条边用厘米，先统一单位再相乘。
2. 把平方单位写成体积单位。体积应使用 $\text{cm}^3$ 或 $\text{m}^3$ 这样的立方单位。
3. 把体积和表面积混淆。体积表示长方体内部所占空间，表面积表示外部所有面的总面积。
4. 用错边长。这个公式需要长方体中互相垂直的长、宽、高。

什么时候使用这个公式

当一个物体可以近似看成长方体时，就可以使用这个公式，比如快递箱、水族箱、收纳盒或房间。

如果实际物体只是大致呈箱形，那么结果也只是近似值。不过当你需要快速估算容量时，这个公式仍然很有用。

试试类似的问题

试着计算一个长方体，它的长是 $12$ cm，宽是 $4$ cm，高是 $7$ cm。把这三个边长相乘，然后检查最后的单位是否是立方单位。

然后只改变一个尺寸，比如把高从 $7$ cm 改成 $14$ cm，再比较新的体积。这是快速观察一个边长变化、其余边长不变时体积如何变化的好方法。