Διπλό ολοκλήρωμα

Ένα διπλό ολοκλήρωμα αθροίζει μια συνάρτηση πάνω σε μια δισδιάστατη περιοχή. Αν $f(x,y) \ge 0$, δίνει τον όγκο κάτω από το $z=f(x,y)$ πάνω από αυτή την περιοχή. Αν η $f$ αλλάζει πρόσημο, δίνει αντί γι’ αυτό τον καθαρό προσημασμένο όγκο.

Συνήθως το γράφεις ως

$$\iint_R f(x,y)\,dA$$

όπου το $R$ είναι η περιοχή στο επίπεδο $xy$ και το $dA$ είναι ένα απειροστό στοιχείο εμβαδού. Στην πράξη, τα περισσότερα πρώτα προβλήματα με διπλά ολοκληρώματα αφορούν δύο πράγματα: να διαβάσεις σωστά την περιοχή και να επιλέξεις όρια που όντως της αντιστοιχούν.

Τι σημαίνει ένα διπλό ολοκλήρωμα

Υπάρχουν τρία μέρη που πρέπει να διαβάσεις:

• Το $f(x,y)$ είναι η συνάρτηση που αθροίζεται.
• Το $R$ είναι η περιοχή όπου γίνεται η άθροιση.
• Το $dA$ σημαίνει ένα απειροστό κομμάτι εμβαδού.

Άρα το $\iint_R f(x,y)\,dA$ σημαίνει «άθροισε τις τιμές της $f$ πάνω σε όλα τα απειροστά κομμάτια εμβαδού του $R$». Αν $f(x,y)=1$, το αποτέλεσμα είναι απλώς το εμβαδό του $R$. Αυτό είναι ένας χρήσιμος έλεγχος, γιατί δείχνει ότι τα διπλά ολοκληρώματα μετρούν συσσώρευση πάνω σε εμβαδό, όχι μόνο όγκο κάτω από καμπύλες επιφάνειες.

Γιατί ένα διπλό ολοκλήρωμα συχνά γίνεται επαναληπτικό ολοκλήρωμα

Σε πολλά προβλήματα λογισμού, υπολογίζεις ένα διπλό ολοκλήρωμα μετατρέποντάς το σε δύο απλά ολοκληρώματα. Σε ένα ορθογώνιο, και γενικότερα κάτω από συνήθεις προϋποθέσεις όπως η συνέχεια στην περιοχή, μπορείς να ολοκληρώνεις μία μεταβλητή κάθε φορά.

Για ένα ορθογώνιο $R = [a,b] \times [c,d]$,

$$\iint_R f(x,y)\,dA = \int_a^b \int_c^d f(x,y)\,dy\,dx$$

ή, αν είναι απλούστερο,

$$\iint_R f(x,y)\,dA = \int_c^d \int_a^b f(x,y)\,dx\,dy.$$

Η σειρά έχει σημασία για τη διατύπωση και την ευκολία. Κάτω από τις συνήθεις συνθήκες του μαθήματος, και τα δύο επαναληπτικά ολοκληρώματα παριστάνουν το ίδιο μέγεθος, αλλά η μία σειρά είναι συχνά πολύ πιο εύκολη στον υπολογισμό.

Για ένα απλό ολοκλήρωμα, μπορείς να σκεφτείς ότι χωρίζεις ένα διάστημα σε απειροστά πλάτη $dx$. Για ένα διπλό ολοκλήρωμα, χωρίζεις μια περιοχή σε απειροστά ορθογώνια με εμβαδό $dA$.

Κάθε μικρό ορθογώνιο συνεισφέρει περίπου

$$f(x,y)\,dA.$$

Αθροίζοντας αυτές τις συνεισφορές σε όλη την περιοχή, παίρνεις τη συνολική συσσώρευση.

Παράδειγμα διπλού ολοκληρώματος σε ορθογώνιο

Να βρεθεί το

$$\iint_R (x+2y)\,dA$$

όπου

$$R = \{(x,y) : 0 \le x \le 2,\ 1 \le y \le 3\}.$$

Αυτή η περιοχή είναι ορθογώνιο, οπότε ένα επαναληπτικό ολοκλήρωμα γράφεται εύκολα:

$$\iint_R (x+2y)\,dA = \int_0^2 \int_1^3 (x+2y)\,dy\,dx.$$

Ολοκλήρωσε πρώτα ως προς $y$. Ενώ το κάνεις αυτό, θεώρησε το $x$ σταθερό:

$$\int_1^3 (x+2y)\,dy = \left[xy + y^2\right]_1^3 = (3x+9)-(x+1) = 2x+8.$$

Τώρα ολοκλήρωσε την εξωτερική παράσταση ως προς $x$:

$$\int_0^2 (2x+8)\,dx = \left[x^2+8x\right]_0^2 = 4+16 = 20.$$

Άρα

$$\iint_R (x+2y)\,dA = 20.$$

Αυτό βγάζει νόημα, γιατί το $x+2y$ είναι θετικό παντού στο $R$, άρα και η συνολική συσσώρευση πρέπει επίσης να είναι θετική.

Τι αλλάζει όταν η περιοχή δεν είναι ορθογώνιο

Αν η περιοχή δεν είναι ορθογώνιο, τα όρια συχνά εξαρτώνται από την άλλη μεταβλητή. Για παράδειγμα, μπορεί να δεις μια περιοχή που περιγράφεται από καμπύλες όπως

$$0 \le x \le 1, \quad x^2 \le y \le x+1.$$

Τότε τα εσωτερικά όρια δεν είναι πια σταθερές. Μεταβάλλονται με το $x$.

Γι’ αυτό έχει σημασία να σχεδιάζεις την περιοχή. Σε πολλές λύσεις μαθητών, η άλγεβρα είναι σωστή αλλά η περιοχή είναι λάθος.

Συνηθισμένα λάθη στα διπλά ολοκληρώματα

1. Χρήση ορίων που δεν αντιστοιχούν στην περιοχή που θέλεις.
2. Να ξεχνάς ποια μεταβλητή ολοκληρώνεται πρώτη. Στο $\int_a^b \int_c^d f(x,y)\,dy\,dx$, το εσωτερικό ολοκλήρωμα είναι ως προς $y$.
3. Να χειρίζεσαι και τις δύο μεταβλητές σαν να είναι ενεργές στο εσωτερικό βήμα. Η εξωτερική μεταβλητή πρέπει εκεί να θεωρείται σταθερά.
4. Να υποθέτεις ότι το αποτέλεσμα είναι γεωμετρικός όγκος ακόμη κι όταν η συνάρτηση παίρνει αρνητικές τιμές. Σε αυτή την περίπτωση, το διπλό ολοκλήρωμα δίνει προσημασμένο όγκο.
5. Να αλλάζεις τη σειρά ολοκλήρωσης χωρίς να αλλάζεις σωστά τα όρια.

Πού χρησιμοποιούνται τα διπλά ολοκληρώματα

Τα διπλά ολοκληρώματα εμφανίζονται κάθε φορά που ένα μέγεθος κατανέμεται πάνω σε μια επιφάνεια αντί κατά μήκος μιας γραμμής.

• Στη γεωμετρία, δίνουν εμβαδό ή όγκο κάτω από μια επιφάνεια.
• Στη φυσική, μπορούν να αθροίσουν μάζα πάνω σε ένα έλασμα όταν η πυκνότητα εξαρτάται από τη θέση.
• Στην πιθανότητα, εμφανίζονται σε συνεχείς κοινές κατανομές δύο μεταβλητών.
• Στη μηχανική, χρησιμοποιούνται όταν ένα μέγεθος μεταβάλλεται πάνω σε μια επιφάνεια ή διατομή.

Η ερμηνεία εξαρτάται από τη συνάρτηση. Αν ο ολοκληρωτέος είναι πυκνότητα, το αποτέλεσμα είναι μάζα. Αν ο ολοκληρωτέος είναι ύψος, το αποτέλεσμα είναι προσημασμένος όγκος.

Δοκίμασε ένα παρόμοιο πρόβλημα

Δοκίμασε τη δική σου εκδοχή αλλάζοντας το παράδειγμα σε

$$\iint_R (2x+y)\,dA$$

στο ίδιο ορθογώνιο $0 \le x \le 2$, $1 \le y \le 3$. Έπειτα αντέστρεψε τη σειρά ολοκλήρωσης και έλεγξε ότι η τιμή μένει ίδια. Αν θέλεις να πας ένα βήμα παραπέρα, δοκίμασε ένα παρόμοιο πρόβλημα σε μια τριγωνική περιοχή ώστε τα όρια να εξαρτώνται από την άλλη μεταβλητή.