Z-score — Πώς να το υπολογίσετε

Ένα z-score δείχνει πόσο απέχει μια τιμή από τον μέσο όρο, σε μονάδες τυπικής απόκλισης. Αυτό το κάνει χρήσιμο όταν θέλετε να συγκρίνετε μια τιμή με τις υπόλοιπες μιας ομάδας και όχι απλώς να διαβάσετε τον ακατέργαστο αριθμό μόνο του.

Ο βασικός τύπος είναι

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

όπου $x$ είναι η τιμή, $\mu$ είναι ο μέσος όρος και $\sigma$ είναι η τυπική απόκλιση.

Αν το $z$ είναι θετικό, η τιμή είναι πάνω από τον μέσο όρο. Αν το $z$ είναι αρνητικό, η τιμή είναι κάτω από τον μέσο όρο. Αν $z = 0$, η τιμή είναι ακριβώς στον μέσο όρο.

Πώς να υπολογίσετε ένα z-score

Χρησιμοποιήστε τα παρακάτω βήματα:

1. Ξεκινήστε με την τιμή $x$.
2. Αφαιρέστε τον μέσο όρο.
3. Διαιρέστε με την τυπική απόκλιση.

Αυτό ακριβώς κάνει ο υπολογισμός: μετατρέπει μια ακατέργαστη απόσταση από τον μέσο όρο σε μια τυποποιημένη απόσταση.

Τι σημαίνει διαισθητικά ο τύπος

Ο αριθμητής $x - \mu$ δείχνει πόσο απέχει η τιμή από το κέντρο. Ο παρονομαστής $\sigma$ επανακλιμακώνει αυτή την απόσταση με βάση τη συνήθη διασπορά των δεδομένων.

Άρα ένα z-score δεν λέει απλώς «αυτή η βαθμολογία είναι 14 μονάδες πάνω από τον μέσο όρο». Λέει αν οι 14 μονάδες είναι μικρή ή μεγάλη διαφορά για το συγκεκριμένο σύνολο δεδομένων.

Λυμένο παράδειγμα

Ας υποθέσουμε ότι μια βαθμολογία σε τεστ είναι $84$, ο μέσος όρος της τάξης είναι $70$ και η τυπική απόκλιση είναι $7$.

Βάλτε αυτούς τους αριθμούς στον τύπο:

$$z = \frac{84 - 70}{7}$$

Πρώτα αφαιρέστε:

$$84 - 70 = 14$$

Έπειτα διαιρέστε:

$$z = \frac{14}{7} = 2$$

Το z-score είναι $2$. Αυτό σημαίνει ότι η βαθμολογία είναι $2$ τυπικές αποκλίσεις πάνω από τον μέσο όρο.

Ένας γρήγορος τρόπος να διαβάσετε την απάντηση

• $z = 1$ σημαίνει μία τυπική απόκλιση πάνω από τον μέσο όρο.
• $z = -1.5$ σημαίνει μιάμιση τυπική απόκλιση κάτω από τον μέσο όρο.
• Μια μεγαλύτερη απόλυτη τιμή, όπως $|z| = 3$, σημαίνει ότι η τιμή είναι σχετικά μακριά από τον μέσο όρο.

Αυτή η ερμηνεία λειτουργεί μόνο σε σχέση με τον μέσο όρο και την τυπική απόκλιση που χρησιμοποιήσατε. Αν αυτά αλλάξουν, αλλάζει και το z-score.

Συνηθισμένα λάθη

Ένα συνηθισμένο λάθος είναι να διαιρείτε με τη διακύμανση αντί με την τυπική απόκλιση. Το z-score χρησιμοποιεί την τυπική απόκλιση, όχι τη διακύμανση.

Ένα άλλο λάθος είναι να αγνοείτε το πρόσημο. Ένα z-score ίσο με $-2$ δεν είναι το ίδιο με το $2$. Το πρώτο είναι κάτω από τον μέσο όρο και το δεύτερο πάνω από αυτόν.

Είναι επίσης εύκολο να μπερδέψετε δεδομένα από διαφορετικές ομάδες. Μια τιμή μπορεί να έχει ένα z-score σε μία τάξη και διαφορετικό z-score σε μια άλλη τάξη, αν αλλάξει ο μέσος όρος ή η τυπική απόκλιση.

Πότε χρησιμοποιούν οι άνθρωποι τα z-score

Τα z-score είναι χρήσιμα όταν θέλετε να συγκρίνετε τιμές από διαφορετικές κλίμακες, να εντοπίσετε ασυνήθιστα υψηλές ή χαμηλές παρατηρήσεις ή να συνδέσετε ακατέργαστα δεδομένα με ένα μοντέλο κανονικής κατανομής.

Αυτή η τελευταία χρήση χρειάζεται μια προϋπόθεση: η μετατροπή ενός z-score σε πιθανότητα έχει περισσότερο νόημα όταν είναι κατάλληλο ένα κανονικό μοντέλο ή όταν το πρόβλημα σας λέει ρητά να χρησιμοποιήσετε ένα τέτοιο μοντέλο.

Τιμές πληθυσμού έναντι τιμών δείγματος

Σε πολλούς τύπους της στατιστικής, το z-score γράφεται με σύμβολα πληθυσμού:

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

Αν έχετε μόνο δειγματικό μέσο όρο $\bar{x}$ και δειγματική τυπική απόκλιση $s$, συχνά γίνεται τυποποίηση με

$$\frac{x - \bar{x}}{s}$$

Το βήμα του υπολογισμού είναι το ίδιο, αλλά η ερμηνεία εξαρτάται από το αν αυτές οι τιμές περιγράφουν ολόκληρο τον πληθυσμό ή μόνο ένα δείγμα.

Δοκιμάστε τη δική σας εκδοχή

Διαλέξτε οποιαδήποτε τιμή, μέσο όρο και τυπική απόκλιση, έπειτα υπολογίστε το z-score και εξηγήστε το αποτέλεσμα με λόγια. Αν θέλετε ένα χρήσιμο επόμενο παράδειγμα, λύστε ένα παρόμοιο πρόβλημα όπου το z-score βγαίνει αρνητικό και ελέγξτε ότι η ερμηνεία σας εξακολουθεί να ταιριάζει με το πρόσημο.