Διακύμανση — Τύπος, Υπολογισμός και Παραδείγματα

Η διακύμανση μετρά πόσο απλωμένοι είναι οι αριθμοί γύρω από τον μέσο όρο τους. Μικρή διακύμανση σημαίνει ότι οι τιμές παραμένουν αρκετά κοντά στον μέσο όρο. Μεγάλη διακύμανση σημαίνει ότι είναι πιο διασκορπισμένες.

Για να υπολογίσεις τη διακύμανση, βρίσκεις πόσο απέχει κάθε τιμή από τον μέσο όρο, υψώνεις αυτές τις αποστάσεις στο τετράγωνο και παίρνεις τον μέσο όρο τους. Η ύψωση στο τετράγωνο είναι σημαντική, γιατί αλλιώς οι θετικές και οι αρνητικές αποκλίσεις θα αλληλοαναιρούνταν.

Τύπος Διακύμανσης: Πληθυσμός έναντι Δείγματος

Χρησιμοποίησε τον τύπο της διακύμανσης πληθυσμού όταν τα δεδομένα σου περιλαμβάνουν κάθε τιμή της ομάδας που θέλεις να περιγράψεις:

$$\sigma^2 = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i - \mu)^2$$

Χρησιμοποίησε τον τύπο της διακύμανσης δείγματος όταν τα δεδομένα σου είναι μόνο ένα δείγμα και θέλεις να εκτιμήσεις τη διασπορά ενός μεγαλύτερου πληθυσμού:

$$s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$$

Η μόνη διαφορά είναι ο παρονομαστής. Χρησιμοποίησε το $N$ για έναν πλήρη πληθυσμό. Χρησιμοποίησε το $n-1$ για μια εκτίμηση από δείγμα.

Τι Σημαίνει η Διακύμανση

Η διακύμανση δεν σου λέει πού βρίσκεται το κέντρο. Σου λέει πόσο μακριά τείνουν να βρίσκονται τα δεδομένα από αυτό το κέντρο.

Αν δύο σύνολα δεδομένων έχουν τον ίδιο μέσο όρο, εκείνο με τη μεγαλύτερη διακύμανση έχει τιμές που βρίσκονται κατά μέσο όρο πιο μακριά από τον μέσο όρο. Επειδή οι αποκλίσεις υψώνονται στο τετράγωνο, οι ασυνήθιστα μεγάλες διαφορές επηρεάζουν περισσότερο το αποτέλεσμα.

Μια σημαντική λεπτομέρεια: η διακύμανση μετριέται σε τετραγωνικές μονάδες. Αν τα δεδομένα είναι σε μέτρα, η διακύμανση είναι σε τετραγωνικά μέτρα. Γι’ αυτό η τυπική απόκλιση είναι συχνά πιο εύκολη στην ερμηνεία στην καθημερινή χρήση.

Πώς Να Υπολογίσεις τη Διακύμανση: Λυμένο Παράδειγμα

Χρησιμοποίησε το σύνολο δεδομένων $2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9$.

Πρώτα βρες τον μέσο όρο:

$$\bar{x} = \frac{2+4+4+4+5+5+7+9}{8} = \frac{40}{8} = 5$$

Τώρα αφαίρεσε τον μέσο όρο από κάθε τιμή και ύψωσε το αποτέλεσμα στο τετράγωνο:

• $(2-5)^2 = 9$
• $(4-5)^2 = 1$
• $(4-5)^2 = 1$
• $(4-5)^2 = 1$
• $(5-5)^2 = 0$
• $(5-5)^2 = 0$
• $(7-5)^2 = 4$
• $(9-5)^2 = 16$

Πρόσθεσε αυτές τις τετραγωνικές αποκλίσεις:

$$9+1+1+1+0+0+4+16 = 32$$

Αν αυτές οι οκτώ τιμές είναι ολόκληρος ο πληθυσμός, η διακύμανση πληθυσμού είναι:

$$\sigma^2 = \frac{32}{8} = 4$$

Αν οι ίδιες οκτώ τιμές θεωρηθούν δείγμα από έναν μεγαλύτερο πληθυσμό, η διακύμανση δείγματος είναι:

$$s^2 = \frac{32}{7} \approx 4.57$$

Αυτό το παράδειγμα δείχνει καθαρά τη βασική ιδέα: οι τετραγωνικές αποκλίσεις είναι ίδιες, αλλά το τελικό αποτέλεσμα αλλάζει ανάλογα με το αν διαιρείς με $N$ ή με $n-1$.

Συνηθισμένα Λάθη στη Διακύμανση

• Να ξεχνάς να υψώσεις τις αποκλίσεις στο τετράγωνο. Αν πάρεις τον μέσο όρο των απλών αποκλίσεων, οι θετικές και οι αρνητικές τιμές αλληλοαναιρούνται, οπότε δεν μετράς σωστά τη διασπορά.
• Να μπερδεύεις τη διακύμανση πληθυσμού με τη διακύμανση δείγματος. Διαιρείς με $N$ για έναν πλήρη πληθυσμό και με $n-1$ για ένα δείγμα που χρησιμοποιείται για την εκτίμηση ενός μεγαλύτερου πληθυσμού.
• Να ξεχνάς ότι η διακύμανση χρησιμοποιεί τετραγωνικές μονάδες. Η διακύμανση είναι χρήσιμη, αλλά η τυπική απόκλιση είναι συχνά πιο εύκολη στην ανάγνωση, επειδή επιστρέφει στις αρχικές μονάδες.
• Να υποθέτεις ότι η μεγάλη διακύμανση είναι πάντα κακή. Μεγαλύτερη διακύμανση σημαίνει μόνο μεγαλύτερη διασπορά. Το αν αυτό έχει σημασία εξαρτάται από το πλαίσιο.

Πότε Χρησιμοποιείται η Διακύμανση

Η διακύμανση χρησιμοποιείται κάθε φορά που χρειάζεται να περιγράψεις ή να συγκρίνεις τη διασπορά με συνεπή τρόπο.

• Στη στατιστική, βοηθά να συνοψίσουμε πόσο διασκορπισμένο είναι ένα σύνολο δεδομένων.
• Στον ποιοτικό έλεγχο, μπορεί να βοηθήσει στην παρακολούθηση του αν μια διαδικασία παραμένει σταθερή με την πάροδο του χρόνου.
• Στα χρηματοοικονομικά, η διακύμανση χρησιμοποιείται για να περιγράψει πόσο μεταβάλλονται οι αποδόσεις, αν και είναι μόνο ένας τρόπος να σκεφτούμε τον κίνδυνο.
• Στη μηχανική μάθηση και στην ανάλυση δεδομένων, βοηθά να περιγράψουμε πώς μεταβάλλονται τα χαρακτηριστικά ή τα σφάλματα μεταξύ των παρατηρήσεων.

Δοκίμασε Ένα Παρόμοιο Πρόβλημα

Δοκίμασε τη δική σου εκδοχή με δύο μικρά σύνολα δεδομένων που έχουν τον ίδιο μέσο όρο αλλά διαφορετική διασπορά. Υπολόγισε τη διακύμανση και για τα δύο και δες αν το πιο απλωμένο σύνολο δεδομένων δίνει μεγαλύτερη τιμή. Αυτή η μία σύγκριση συνήθως αρκεί για να εμπεδωθεί η ιδέα.