Μέσος όρος, διάμεσος, επικρατούσα τιμή — Μέτρα κεντρικής τάσης

Ο μέσος όρος, η διάμεσος και η επικρατούσα τιμή είναι τρεις τρόποι για να περιγράψουμε το κέντρο ενός συνόλου δεδομένων. Ο μέσος όρος είναι ο αριθμητικός μέσος, η διάμεσος είναι η μεσαία τιμή αφού ταξινομήσουμε τα δεδομένα, και η επικρατούσα τιμή είναι η τιμή που εμφανίζεται πιο συχνά. Αν θέλεις έναν γρήγορο κανόνα: χρησιμοποίησε τον μέσο όρο όταν τα δεδομένα είναι αρκετά ισορροπημένα, τη διάμεσο όταν ακραίες τιμές μπορεί να αλλοιώσουν το αποτέλεσμα, και την επικρατούσα τιμή όταν έχει μεγαλύτερη σημασία η πιο συχνή τιμή.

Αυτά τα μέτρα μπορεί να δίνουν διαφορετικές απαντήσεις, επειδή ορίζουν το "κέντρο" με διαφορετικούς τρόπους. Αυτός είναι ακριβώς ο λόγος που είναι χρήσιμα.

Μέσος όρος, διάμεσος και επικρατούσα τιμή με μια ματιά

Ο μέσος όρος χρησιμοποιεί κάθε τιμή του συνόλου:

$$\text{mean} = \frac{\text{sum of all values}}{\text{number of values}}$$

Επειδή κάθε τιμή συμβάλλει, ένας ασυνήθιστα μεγάλος ή μικρός αριθμός μπορεί να μετακινήσει τον μέσο όρο μακριά από αυτό που φαίνεται τυπικό.

Η διάμεσος είναι η μεσαία τιμή όταν τα δεδομένα γραφτούν με σειρά. Αν ο αριθμός των τιμών είναι περιττός, υπάρχει μία μεσαία τιμή. Αν ο αριθμός των τιμών είναι άρτιος, η διάμεσος είναι ο μέσος όρος των δύο μεσαίων τιμών.

Η επικρατούσα τιμή είναι η τιμή που εμφανίζεται πιο συχνά. Ένα σύνολο δεδομένων μπορεί να έχει μία επικρατούσα τιμή, περισσότερες από μία, ή καμία, αν καμία τιμή δεν εμφανίζεται συχνότερα από τις άλλες.

Λυμένο παράδειγμα με ακραία τιμή

Χρησιμοποίησε το σύνολο δεδομένων $2, 3, 3, 4, 20$.

Ο μέσος όρος είναι

$$\frac{2 + 3 + 3 + 4 + 20}{5} = \frac{32}{5} = 6.4$$

Η διάμεσος είναι $3$, επειδή το $3$ είναι η μεσαία τιμή στην ταξινομημένη λίστα.

Η επικρατούσα τιμή είναι επίσης $3$, επειδή εμφανίζεται πιο συχνά από κάθε άλλη τιμή.

Αυτό το παράδειγμα έχει σημασία επειδή τα δεδομένα περιέχουν μια ακραία τιμή: το $20$. Αυτή η μία τιμή ανεβάζει τον μέσο όρο στο $6.4$, ενώ η διάμεσος παραμένει στο $3$. Αν ο στόχος σου είναι να περιγράψεις μια τυπική τιμή για αυτό το σύνολο, η διάμεσος είναι συνήθως η καλύτερη σύνοψη.

Συνηθισμένα λάθη με τον μέσο όρο, τη διάμεσο και την επικρατούσα τιμή

Να μη γίνεται ταξινόμηση πριν βρεθεί η διάμεσος

Η διάμεσος εξαρτάται από τη σειρά. Αν η λίστα δεν ταξινομηθεί πρώτα, ο μεσαίος αριθμός που θα επιλέξεις δεν είναι αξιόπιστος.

Να θεωρείται ότι το "average" σημαίνει πάντα μέσος όρος

Στην καθημερινή γλώσσα, οι άνθρωποι συχνά χρησιμοποιούν χαλαρά τη λέξη "average". Στη στατιστική, πρέπει να είσαι πιο ακριβής. Μερικές φορές η διάμεσος ή η επικρατούσα τιμή δίνει πιο χρήσιμη σύνοψη.

Να υποθέτεις ότι κάθε σύνολο δεδομένων έχει επικρατούσα τιμή

Το σύνολο $1, 2, 3, 4$ δεν έχει επικρατούσα τιμή, επειδή καμία τιμή δεν επαναλαμβάνεται. Ένα σύνολο μπορεί επίσης να έχει δύο ή περισσότερες επικρατούσες τιμές, αν πολλές τιμές ισοβαθμούν στη μεγαλύτερη συχνότητα.

Να αγνοούνται οι ακραίες τιμές

Αν μία τιμή είναι πολύ μεγαλύτερη ή πολύ μικρότερη από τις υπόλοιπες, ο μέσος όρος μπορεί να μεταβληθεί πολύ. Αυτό δεν σημαίνει ότι ο μέσος όρος είναι λάθος, αλλά αλλάζει το τι ιστορία λέει αυτός ο αριθμός.

Πότε να χρησιμοποιείς κάθε μέτρο κεντρικής τάσης

Χρησιμοποίησε τον μέσο όρο όταν τα δεδομένα είναι αρκετά ισορροπημένα και κάθε τιμή πρέπει να επηρεάζει το αποτέλεσμα. Οι βαθμολογίες από ένα σταθερό σε δυσκολία τεστ είναι ένα απλό παράδειγμα.

Χρησιμοποίησε τη διάμεσο όταν ακραίες τιμές μπορεί να παραμορφώσουν το κέντρο. Τα δεδομένα για εισόδημα, ενοίκια και τιμές κατοικιών είναι συνηθισμένες περιπτώσεις, επειδή λίγες πολύ μεγάλες τιμές μπορούν να τραβήξουν τον μέσο όρο προς τα πάνω.

Χρησιμοποίησε την επικρατούσα τιμή όταν η πιο συχνή τιμή έχει μεγαλύτερη σημασία από το αριθμητικό κέντρο. Τα μεγέθη μπλούζας που πωλούνται σε ένα κατάστημα ή η πιο συχνή απάντηση σε μια έρευνα ταιριάζουν σε αυτό το μοτίβο.

Γιατί οι μαθητές μαθαίνουν αυτή την ιδέα

Τα μέτρα κεντρικής τάσης είναι συχνά το πρώτο βήμα για να βγάλεις νόημα από τα δεδομένα. Σε βοηθούν να συνοψίσεις μια λίστα τιμών πριν συγκρίνεις ομάδες, εξετάσεις τη διασπορά ή αποφασίσεις αν τα δεδομένα είναι ασύμμετρα.

Αν τα δεδομένα είναι αριθμητικά και αρκετά σταθερά, ο μέσος όρος είναι συχνά κατατοπιστικός. Αν τα δεδομένα είναι ασύμμετρα, η διάμεσος είναι συνήθως πιο ασφαλής επιλογή. Αν το ερώτημα αφορά τι συμβαίνει πιο συχνά, η επικρατούσα τιμή μπορεί να είναι η μόνη που το απαντά άμεσα.

Δοκίμασε ένα παρόμοιο πρόβλημα

Πάρε τη λίστα $5, 6, 6, 7, 30$ και βρες και τα τρία μέτρα. Έπειτα αντικατάστησε το $30$ με $8$ και σύγκρινε τι αλλάζει. Αυτή η μία αλλαγή κάνει τον ρόλο των ακραίων τιμών πολύ πιο εύκολο να φανεί.