Άμεση & Αντίστροφη Αναλογία — Τύποι και Παραδείγματα

Άμεση αναλογία σημαίνει ότι δύο ποσότητες μεταβάλλονται με τον ίδιο συντελεστή, οπότε ο λόγος τους παραμένει σταθερός. Αντίστροφη αναλογία σημαίνει ότι η μία ποσότητα αυξάνεται ενώ η άλλη μειώνεται με τρόπο που κρατά το γινόμενο σταθερό. Με λίγα λόγια, η άμεση αναλογία χρησιμοποιεί το $y = kx$, ενώ η αντίστροφη αναλογία χρησιμοποιεί το $y = \frac{k}{x}$.

Άμεση και αντίστροφη αναλογία με μια ματιά

Αν δύο ποσότητες είναι σε άμεση αναλογία, όταν η μία διπλασιάζεται, διπλασιάζεται και η άλλη. Αν είναι σε αντίστροφη αναλογία, όταν η μία διπλασιάζεται, η άλλη υποδιπλασιάζεται.

Οι βασικοί τύποι είναι:

$$y = kx$$

για την άμεση αναλογία, και

$$y = \frac{k}{x}$$

για την αντίστροφη αναλογία, όπου $k$ είναι σταθερά και $x \ne 0$.

Ο πιο γρήγορος έλεγχος είναι:

• Άμεση αναλογία: το $\frac{y}{x}$ παραμένει σταθερό.
• Αντίστροφη αναλογία: το $xy$ παραμένει σταθερό.

Τι σημαίνει άμεση αναλογία

Στην άμεση αναλογία, η μία ποσότητα είναι πάντα ένα σταθερό πολλαπλάσιο της άλλης. Αν τα στυλό κοστίζουν $2$ δολάρια το καθένα, τότε το συνολικό κόστος $C$ είναι ευθέως ανάλογο με τον αριθμό των στυλό $n$:

$$C = 2n$$

Εδώ η σταθερά αναλογίας είναι $k = 2$. Ο λόγος $\frac{C}{n}$ παραμένει ίσος με $2$ όσο η τιμή ανά τεμάχιο μένει ίδια.

Αυτή η συνθήκη είναι σημαντική. Αν υπάρχει σταθερό κόστος παράδοσης ή έκπτωση για μεγάλη ποσότητα, τότε η σχέση δεν είναι πλέον άμεση αναλογία.

Τι σημαίνει αντίστροφη αναλογία

Στην αντίστροφη αναλογία, σταθερό παραμένει το γινόμενο και όχι ο λόγος. Ένα συνηθισμένο παράδειγμα είναι ο χρόνος και ο αριθμός εργατών για την ίδια εργασία, αν κάθε εργάτης δουλεύει με τον ίδιο ρυθμό και αγνοούνται οι απώλειες συντονισμού.

Αν $w$ είναι ο αριθμός των εργατών και $t$ ο χρόνος, τότε

$$wt = k$$

Άρα, αν διπλασιαστεί ο αριθμός των εργατών, ο χρόνος γίνεται ο μισός.

Αυτό είναι μοντέλο αντίστροφης αναλογίας μόνο όταν η συνολική εργασία παραμένει σταθερή και όλοι οι εργάτες είναι εξίσου αποδοτικοί. Σε πραγματικά έργα, η προσθήκη εργατών δεν μειώνει πάντα τον χρόνο με τέλειο τρόπο.

Λυμένο παράδειγμα: άμεση και αντίστροφη αναλογία

Η διαφορά φαίνεται πιο εύκολα όταν τις δεις δίπλα δίπλα.

Παράδειγμα άμεσης αναλογίας

Έστω ότι $4$ τετράδια κοστίζουν $12$ δολάρια σε σταθερή τιμή.

Το κόστος ανά τετράδιο είναι

$$k = \frac{12}{4} = 3$$

Άρα ο τύπος της άμεσης αναλογίας είναι

$$C = 3n$$

Αν αγοράσεις $7$ τετράδια, τότε

$$C = 3(7) = 21$$

Άρα τα $7$ τετράδια κοστίζουν $21$ δολάρια.

Παράδειγμα αντίστροφης αναλογίας

Τώρα έστω ότι $4$ εργάτες μπορούν να ολοκληρώσουν την ίδια εργασία σε $6$ ώρες, με ίσους ρυθμούς εργασίας και το ίδιο συνολικό έργο.

Το σταθερό γινόμενο είναι

$$k = wt = 4 \cdot 6 = 24$$

Άρα ο τύπος της αντίστροφης αναλογίας είναι

$$t = \frac{24}{w}$$

Αν την εργασία την κάνουν $8$ εργάτες, τότε

$$t = \frac{24}{8} = 3$$

Άρα η εργασία διαρκεί $3$ ώρες.

Η αντίθεση είναι η βασική ιδέα:

• Στην άμεση περίπτωση, ο λόγος έμεινε σταθερός: $\frac{12}{4} = \frac{21}{7} = 3$.
• Στην αντίστροφη περίπτωση, το γινόμενο έμεινε σταθερό: $4 \cdot 6 = 8 \cdot 3 = 24$.

Συνηθισμένα λάθη στην άμεση και αντίστροφη αναλογία

Να θεωρείς κάθε αυξανόμενο μοτίβο άμεση αναλογία

Δεν είναι κάθε αυξανόμενη σχέση άμεση αναλογία. Για να υπάρχει άμεση αναλογία, ο λόγος πρέπει να παραμένει σταθερός και το μοντέλο να ταιριάζει στο $y = kx$.

Για παράδειγμα, το $y = x + 5$ αυξάνεται όταν αυξάνεται το $x$, αλλά δεν είναι άμεση αναλογία γιατί το $\frac{y}{x}$ δεν είναι σταθερό.

Να θεωρείς κάθε φθίνον μοτίβο αντίστροφη αναλογία

Δεν είναι κάθε φθίνουσα σχέση αντίστροφη αναλογία. Για να υπάρχει αντίστροφη αναλογία, το γινόμενο πρέπει να παραμένει σταθερό.

Για παράδειγμα, το $y = 10 - x$ μειώνεται, αλλά το $xy$ δεν παραμένει σταθερό, άρα δεν είναι αντίστροφη αναλογία.

Να αγνοείς τη συνθήκη που κάνει το μοντέλο να ισχύει

Αυτοί οι τύποι εξαρτώνται από το να παραμένει η κατάσταση απλή. Η σταθερή τιμή ανά μονάδα υποστηρίζει την άμεση αναλογία. Το σταθερό συνολικό έργο με ίσο ρυθμό εργασίας υποστηρίζει την αντίστροφη αναλογία. Αν αυτή η συνθήκη αλλάξει, το μοντέλο μπορεί να αποτύχει.

Πού χρησιμοποιούνται η άμεση και η αντίστροφη αναλογία

Η άμεση αναλογία εμφανίζεται σε αγορές με σταθερή τιμή, σε κλίμακες χαρτών, σε μετατροπές μονάδων και στην απόσταση που διανύεται με σταθερή ταχύτητα.

Η αντίστροφη αναλογία εμφανίζεται σε προβλήματα ρυθμού εργασίας, στην ταχύτητα και τον χρόνο διαδρομής για σταθερή απόσταση, και σε απλές σχέσεις της φυσικής όπου μια ποσότητα πρέπει να μειώνεται ώστε να παραμένει σταθερή μια άλλη ποσότητα.

Και στις δύο περιπτώσεις, η βασική δεξιότητα είναι να εντοπίζεις τι μένει σταθερό.

Πώς να καταλάβεις αν μια σχέση είναι άμεση ή αντίστροφη

Αν δεν είσαι σίγουρος ποιο μοντέλο ταιριάζει, έλεγξε πρώτα ένα γνωστό ζεύγος τιμών.

1. Υπολόγισε το $\frac{y}{x}$. Αν παραμένει ίδιο σε έγκυρα σημεία δεδομένων, σκέψου άμεση αναλογία.
2. Υπολόγισε το $xy$. Αν αυτό παραμένει ίδιο, σκέψου αντίστροφη αναλογία.
3. Αν κανένα από τα δύο δεν παραμένει σταθερό, τότε η σχέση πιθανότατα δεν είναι ούτε το ένα ούτε το άλλο.

Δοκίμασε ένα παρόμοιο πρόβλημα

Άλλαξε έναν αριθμό σε κάθε παράδειγμα, κρατώντας την ίδια συνθήκη. Στο παράδειγμα με τα τετράδια, άλλαξε την τιμή ανά τεμάχιο. Στο παράδειγμα με τους εργάτες, άλλαξε τον αριθμό των εργατών και έλεγξε αν το γινόμενο παραμένει σταθερό.