Πολλαπλασιασμός πινάκων — Πώς να πολλαπλασιάζετε πίνακες

Για να πολλαπλασιάσετε πίνακες, ο αριθμός των στηλών του πρώτου πίνακα πρέπει να είναι ίσος με τον αριθμό των γραμμών του δεύτερου. Αν αυτή η συνθήκη ισχύει, τότε κάθε στοιχείο του γινομένου προκύπτει από μία γραμμή του πρώτου πίνακα και μία στήλη του δεύτερου.

Αυτό σας δίνει τους δύο ελέγχους που συνήθως χρειάζονται αμέσως οι μαθητές: αν το γινόμενο ορίζεται και ποιο θα είναι το μέγεθος της απάντησης.

Πώς να πολλαπλασιάζετε πίνακες σε 3 βήματα

1. Ελέγξτε τις εσωτερικές διαστάσεις. Αν δεν ταιριάζουν, το γινόμενο δεν ορίζεται.
2. Χρησιμοποιήστε τις εξωτερικές διαστάσεις για να βρείτε το μέγεθος της απάντησης.
3. Για κάθε στοιχείο, πολλαπλασιάστε τα αντίστοιχα στοιχεία της γραμμής και της στήλης και μετά προσθέστε αυτά τα γινόμενα.

Ο κανόνας των διαστάσεων

Αν

$$A \text{ is } m \times n \quad \text{and} \quad B \text{ is } n \times p,$$

τότε το $AB$ ορίζεται και το αποτέλεσμα έχει μέγεθος

$$m \times p.$$

Οι εσωτερικές διαστάσεις πρέπει να ταιριάζουν. Οι εξωτερικές διαστάσεις δείχνουν το μέγεθος της απάντησης.

Για παράδειγμα, ένας πίνακας $2 \times 3$ μπορεί να πολλαπλασιαστεί με έναν πίνακα $3 \times 4$, και το αποτέλεσμα θα είναι $2 \times 4$. Όμως ένας πίνακας $2 \times 3$ δεν μπορεί να πολλαπλασιαστεί με έναν πίνακα $2 \times 4$ με αυτή τη σειρά, επειδή οι εσωτερικές διαστάσεις δεν ταιριάζουν.

Τι σημαίνει πραγματικά γραμμή επί στήλη

Για να βρείτε ένα στοιχείο του $AB$, παίρνετε μία γραμμή από το $A$ και μία στήλη από το $B$.

Αν η γραμμή είναι

$$[a_1 \quad a_2 \quad a_3]$$

και η στήλη είναι

$$\begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix},$$

τότε το αντίστοιχο στοιχείο στο γινόμενο είναι

$$a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3.$$

Άρα ο τυπικός πολλαπλασιασμός πινάκων δεν είναι πολλαπλασιασμός στοιχείο προς στοιχείο. Είναι άθροισμα γινομένων που προκύπτει από ένα ζεύγος γραμμής-στήλης.

Λυμένο παράδειγμα

Πολλαπλασιάστε

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ -1 & 3 & 4 \end{bmatrix} \quad \text{and} \quad B = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -2 \\ 5 & 3 \end{bmatrix}.$$

Πρώτα ελέγξτε τα μεγέθη. Ο $A$ είναι $2 \times 3$ και ο $B$ είναι $3 \times 2$, άρα το γινόμενο $AB$ ορίζεται. Η απάντηση θα είναι ένας πίνακας $2 \times 2$.

Τώρα υπολογίστε κάθε στοιχείο.

Το πάνω αριστερό στοιχείο χρησιμοποιεί τη γραμμή 1 του $A$ και τη στήλη 1 του $B$:

$$1 \cdot 2 + 2 \cdot 0 + 0 \cdot 5 = 2.$$

Το πάνω δεξί στοιχείο χρησιμοποιεί τη γραμμή 1 του $A$ και τη στήλη 2 του $B$:

$$1 \cdot 1 + 2 \cdot (-2) + 0 \cdot 3 = -3.$$

Το κάτω αριστερό στοιχείο χρησιμοποιεί τη γραμμή 2 του $A$ και τη στήλη 1 του $B$:

$$(-1) \cdot 2 + 3 \cdot 0 + 4 \cdot 5 = 18.$$

Το κάτω δεξί στοιχείο χρησιμοποιεί τη γραμμή 2 του $A$ και τη στήλη 2 του $B$:

$$(-1) \cdot 1 + 3 \cdot (-2) + 4 \cdot 3 = 5.$$

Άρα

$$AB = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 18 & 5 \end{bmatrix}.$$

Αυτό το ένα παράδειγμα δείχνει ολόκληρο το μοτίβο. Κάθε θέση στην απάντηση προκύπτει από ένα ζεύγος γραμμής-στήλης.

Γιατί έχει σημασία η σειρά

Στη συνηθισμένη αριθμητική, $ab = ba$. Για τους πίνακες, αυτό γενικά δεν ισχύει.

Ακόμα και όταν υπάρχουν και τα δύο γινόμενα, τα $AB$ και $BA$ μπορεί να είναι διαφορετικά. Σε ορισμένες περιπτώσεις, το ένα γινόμενο ορίζεται και το άλλο όχι. Άρα η σειρά είναι μέρος του προβλήματος, όχι μια ασήμαντη λεπτομέρεια.

Συνηθισμένα λάθη

Παράλειψη του ελέγχου διαστάσεων

Πολλά λάθη συμβαίνουν πριν καν αρχίσουν οι πράξεις. Αν οι εσωτερικές διαστάσεις δεν ταιριάζουν, το γινόμενο δεν ορίζεται.

Άμεσος πολλαπλασιασμός αντίστοιχων θέσεων

Αν πολλαπλασιάζετε μαζί τα πάνω αριστερά στοιχεία και μετά το επόμενο αντίστοιχο ζεύγος, κάνετε μια διαφορετική πράξη. Ο τυπικός πολλαπλασιασμός πινάκων χρησιμοποιεί αθροίσματα γραμμής επί στήλη.

Σύγχυση ανάμεσα σε γραμμές και στήλες

Κάθε στοιχείο χρειάζεται μία συγκεκριμένη γραμμή από τον πρώτο πίνακα και μία συγκεκριμένη στήλη από τον δεύτερο. Η χρήση λάθος στήλης είναι ένα πολύ συνηθισμένο λάθος στην οργάνωση των υπολογισμών.

Υπόθεση ότι η αντίστροφη σειρά δίνει την ίδια απάντηση

Δεν πρέπει να περιμένετε ότι $AB = BA$. Ο πολλαπλασιασμός πινάκων γενικά δεν είναι αντιμεταθετικός.

Πότε χρησιμοποιείται ο πολλαπλασιασμός πινάκων

Ο πολλαπλασιασμός πινάκων χρησιμοποιείται όταν μία γραμμική διαδικασία ακολουθείται από μία άλλη. Σε ένα εισαγωγικό μάθημα, αυτό εμφανίζεται συχνά σε συστήματα εξισώσεων ή σε γεωμετρικούς μετασχηματισμούς. Στις εφαρμογές, η ίδια ιδέα εμφανίζεται στα γραφικά υπολογιστών, στα μοντέλα δεδομένων και στην επιστημονική υπολογιστική.

Η χρήσιμη διαίσθηση είναι απλή: ο ένας πίνακας δρα πρώτα και ο επόμενος πίνακας δρα πάνω σε αυτό το αποτέλεσμα. Γι’ αυτό η σειρά έχει σημασία.

Δοκιμάστε τη δική σας εκδοχή

Δοκιμάστε να πολλαπλασιάσετε

$$\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 5 & 2 \end{bmatrix}.$$

Προβλέψτε το μέγεθος της απάντησης πριν υπολογίσετε οποιοδήποτε στοιχείο. Αν θέλετε να ελέγξετε το στήσιμό σας αφού το κάνετε με το χέρι, δοκιμάστε τη δική σας εκδοχή στο GPAI Solver.