Moltiplicazione di matrici — Come moltiplicare le matrici

Per moltiplicare due matrici, il numero di colonne della prima matrice deve essere uguale al numero di righe della seconda. Se questa condizione è soddisfatta, ogni elemento del prodotto si ottiene da una riga della prima matrice e una colonna della seconda.

Questo ti dà subito i due controlli di cui gli studenti hanno di solito bisogno: se il prodotto è definito e quali saranno le dimensioni del risultato.

Come moltiplicare le matrici in 3 passaggi

1. Controlla le dimensioni interne. Se non coincidono, il prodotto non è definito.
2. Usa le dimensioni esterne per trovare la dimensione del risultato.
3. Per ogni elemento, moltiplica gli elementi corrispondenti della riga e della colonna, poi somma quei prodotti.

La regola delle dimensioni

Se

$$A \text{ is } m \times n \quad \text{and} \quad B \text{ is } n \times p,$$

allora $AB$ è definito, e il risultato ha dimensione

$$m \times p.$$

Le dimensioni interne devono coincidere. Le dimensioni esterne ti dicono la dimensione del risultato.

Per esempio, una matrice $2 \times 3$ può moltiplicare una matrice $3 \times 4$, e il risultato sarà una matrice $2 \times 4$. Ma una matrice $2 \times 3$ non può moltiplicare una matrice $2 \times 4$ in quest'ordine, perché le dimensioni interne non coincidono.

Cosa significa davvero riga per colonna

Per trovare un elemento di $AB$, prendi una riga di $A$ e una colonna di $B$.

Se la riga è

$$[a_1 \quad a_2 \quad a_3]$$

e la colonna è

$$\begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix},$$

allora l'elemento corrispondente nel prodotto è

$$a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3.$$

Quindi la moltiplicazione standard tra matrici non è una moltiplicazione elemento per elemento. È una somma di prodotti costruita da una coppia riga-colonna.

Esempio svolto

Moltiplica

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ -1 & 3 & 4 \end{bmatrix} \quad \text{and} \quad B = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -2 \\ 5 & 3 \end{bmatrix}.$$

Per prima cosa controlla le dimensioni. $A$ è $2 \times 3$, e $B$ è $3 \times 2$, quindi il prodotto $AB$ è definito. Il risultato sarà una matrice $2 \times 2$.

Ora calcola ogni elemento.

L'elemento in alto a sinistra usa la riga 1 di $A$ e la colonna 1 di $B$:

$$1 \cdot 2 + 2 \cdot 0 + 0 \cdot 5 = 2.$$

L'elemento in alto a destra usa la riga 1 di $A$ e la colonna 2 di $B$:

$$1 \cdot 1 + 2 \cdot (-2) + 0 \cdot 3 = -3.$$

L'elemento in basso a sinistra usa la riga 2 di $A$ e la colonna 1 di $B$:

$$(-1) \cdot 2 + 3 \cdot 0 + 4 \cdot 5 = 18.$$

L'elemento in basso a destra usa la riga 2 di $A$ e la colonna 2 di $B$:

$$(-1) \cdot 1 + 3 \cdot (-2) + 4 \cdot 3 = 5.$$

Quindi

$$AB = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 18 & 5 \end{bmatrix}.$$

Questo singolo esempio mostra tutto lo schema. Ogni posizione nel risultato deriva da un abbinamento riga-colonna.

Perché l'ordine conta

Nell'aritmetica ordinaria, $ab = ba$. Per le matrici, in generale questo non è vero.

Anche quando entrambi i prodotti esistono, $AB$ e $BA$ possono essere diversi. In alcuni casi, uno dei due prodotti è definito e l'altro no. Quindi l'ordine fa parte del problema, non è un dettaglio puramente formale.

Errori comuni

Saltare il controllo delle dimensioni

Molti errori avvengono prima ancora di iniziare i calcoli. Se le dimensioni interne non coincidono, il prodotto non è definito.

Moltiplicare direttamente le posizioni corrispondenti

Se moltiplichi tra loro gli elementi in alto a sinistra, poi la coppia successiva nella stessa posizione, stai facendo un'operazione diversa. La moltiplicazione standard tra matrici usa somme riga per colonna.

Confondere righe e colonne

Ogni elemento richiede una riga specifica della prima matrice e una colonna specifica della seconda. Riutilizzare la colonna sbagliata è un errore di impostazione molto comune.

Supporre che l'ordine inverso dia la stessa risposta

Non dovresti aspettarti che $AB = BA$. La moltiplicazione tra matrici in generale non è commutativa.

Quando si usa la moltiplicazione di matrici

La moltiplicazione di matrici si usa quando un processo lineare è seguito da un altro. In un corso introduttivo, questo compare spesso nei sistemi di equazioni o nelle trasformazioni geometriche. Nelle applicazioni, la stessa idea compare nella grafica computerizzata, nei modelli di dati e nel calcolo scientifico.

L'intuizione utile è semplice: una matrice agisce per prima, e la matrice successiva agisce su quel risultato. Ecco perché l'ordine conta.

Prova una tua versione

Prova a moltiplicare

$$\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 5 & 2 \end{bmatrix}.$$

Prevedi la dimensione del risultato prima di calcolare i singoli elementi. Se vuoi controllare l'impostazione dopo averlo fatto a mano, prova la tua versione in GPAI Solver.