Matrizenmultiplikation — So multipliziert man Matrizen

Um Matrizen zu multiplizieren, muss die Anzahl der Spalten der ersten Matrix gleich der Anzahl der Zeilen der zweiten Matrix sein. Ist diese Bedingung erfüllt, entsteht jeder Eintrag im Produkt aus einer Zeile der ersten Matrix und einer Spalte der zweiten.

Damit hast du die zwei Prüfungen, die Schüler meist sofort brauchen: ob das Produkt definiert ist und welche Größe das Ergebnis hat.

Matrizen in 3 Schritten multiplizieren

1. Prüfe die inneren Dimensionen. Stimmen sie nicht überein, ist das Produkt nicht definiert.
2. Nutze die äußeren Dimensionen, um die Größe des Ergebnisses zu bestimmen.
3. Für jeden Eintrag multiplizierst du die passenden Werte aus Zeile und Spalte und addierst dann diese Produkte.

Die Dimensionsregel

Wenn

$$A \text{ is } m \times n \quad \text{and} \quad B \text{ is } n \times p,$$

dann ist $AB$ definiert, und das Ergebnis hat die Größe

$$m \times p.$$

Die inneren Dimensionen müssen übereinstimmen. Die äußeren Dimensionen geben dir die Größe des Ergebnisses an.

Zum Beispiel kann eine $2 \times 3$-Matrix mit einer $3 \times 4$-Matrix multipliziert werden, und das Ergebnis ist eine $2 \times 4$-Matrix. Aber eine $2 \times 3$-Matrix kann in dieser Reihenfolge nicht mit einer $2 \times 4$-Matrix multipliziert werden, weil die inneren Dimensionen nicht übereinstimmen.

Was Zeile mal Spalte wirklich bedeutet

Um einen Eintrag von $AB$ zu berechnen, nimmst du eine Zeile aus $A$ und eine Spalte aus $B$.

Wenn die Zeile

$$[a_1 \quad a_2 \quad a_3]$$

und die Spalte

$$\begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix},$$

ist, dann lautet der entsprechende Eintrag im Produkt

$$a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3.$$

Die übliche Matrizenmultiplikation ist also keine elementweise Multiplikation. Sie ist eine Summe von Produkten, die aus einem Zeile-Spalte-Paar gebildet wird.

Durchgerechnetes Beispiel

Multipliziere

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ -1 & 3 & 4 \end{bmatrix} \quad \text{and} \quad B = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -2 \\ 5 & 3 \end{bmatrix}.$$

Prüfe zuerst die Größen. $A$ ist $2 \times 3$ und $B$ ist $3 \times 2$, also ist das Produkt $AB$ definiert. Das Ergebnis wird eine $2 \times 2$-Matrix sein.

Jetzt berechnen wir jeden Eintrag.

Der Eintrag oben links verwendet Zeile 1 von $A$ und Spalte 1 von $B$:

$$1 \cdot 2 + 2 \cdot 0 + 0 \cdot 5 = 2.$$

Der Eintrag oben rechts verwendet Zeile 1 von $A$ und Spalte 2 von $B$:

$$1 \cdot 1 + 2 \cdot (-2) + 0 \cdot 3 = -3.$$

Der Eintrag unten links verwendet Zeile 2 von $A$ und Spalte 1 von $B$:

$$(-1) \cdot 2 + 3 \cdot 0 + 4 \cdot 5 = 18.$$

Der Eintrag unten rechts verwendet Zeile 2 von $A$ und Spalte 2 von $B$:

$$(-1) \cdot 1 + 3 \cdot (-2) + 4 \cdot 3 = 5.$$

Also gilt

$$AB = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 18 & 5 \end{bmatrix}.$$

Dieses eine Beispiel zeigt schon das ganze Muster. Jede Position im Ergebnis entsteht aus genau einer Zeile-Spalte-Kombination.

Warum die Reihenfolge wichtig ist

In der gewöhnlichen Arithmetik gilt $ab = ba$. Für Matrizen ist das im Allgemeinen nicht richtig.

Selbst wenn beide Produkte existieren, können $AB$ und $BA$ verschieden sein. In manchen Fällen ist ein Produkt definiert und das andere nicht. Die Reihenfolge ist also Teil der Aufgabe und kein bloßes Detail.

Häufige Fehler

Die Dimensionsprüfung überspringen

Viele Fehler passieren, bevor überhaupt gerechnet wird. Wenn die inneren Dimensionen nicht übereinstimmen, ist das Produkt nicht definiert.

Passende Positionen direkt miteinander multiplizieren

Wenn du den Eintrag oben links mit dem Eintrag oben links multiplizierst und dann das nächste passende Paar nimmst, führst du eine andere Operation aus. Die übliche Matrizenmultiplikation verwendet Zeile-mal-Spalte-Summen.

Zeilen und Spalten verwechseln

Jeder Eintrag braucht eine bestimmte Zeile aus der ersten Matrix und eine bestimmte Spalte aus der zweiten. Die falsche Spalte erneut zu verwenden, ist ein sehr häufiger Flüchtigkeitsfehler.

Annehmen, dass die umgekehrte Reihenfolge dasselbe Ergebnis liefert

Du solltest nicht erwarten, dass $AB = BA$ gilt. Matrizenmultiplikation ist im Allgemeinen nicht kommutativ.

Wann Matrizenmultiplikation verwendet wird

Matrizenmultiplikation wird verwendet, wenn auf einen linearen Prozess ein weiterer folgt. In einem Einführungskurs taucht das oft bei Gleichungssystemen oder geometrischen Transformationen auf. In Anwendungen begegnet dir dieselbe Idee in Computergrafik, Datenmodellen und wissenschaftlichem Rechnen.

Die nützliche Grundidee ist einfach: Eine Matrix wirkt zuerst, und die nächste Matrix wirkt auf dieses Ergebnis. Deshalb ist die Reihenfolge wichtig.

Probiere deine eigene Version

Versuche, folgende Matrizen zu multiplizieren:

$$\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 5 & 2 \end{bmatrix}.$$

Sage die Größe des Ergebnisses voraus, bevor du irgendeinen Eintrag ausrechnest. Wenn du deinen Ansatz nach dem Rechnen von Hand überprüfen möchtest, probiere deine eigene Version im GPAI Solver aus.