Εσωτερικό γινόμενο — Τύπος, γεωμετρική σημασία και παραδείγματα

Το εσωτερικό γινόμενο πολλαπλασιάζει δύο διανύσματα της ίδιας διάστασης και δίνει έναν αριθμό. Σε συντεταγμένες,

$$u = (u_1, u_2, \dots, u_n), \qquad v = (v_1, v_2, \dots, v_n),$$ $$u \cdot v = u_1v_1 + u_2v_2 + \dots + u_nv_n.$$

Στο συνηθισμένο ευκλείδειο πλαίσιο, ο ίδιος αριθμός έχει και γεωμετρική σημασία:

$$u \cdot v = |u||v|\cos\theta,$$

όπου $\theta$ είναι η γωνία ανάμεσα στα διανύσματα. Αυτό σημαίνει ότι το εσωτερικό γινόμενο δεν είναι απλώς ένας τύπος για υπολογισμό. Σου δείχνει επίσης πόσο έντονα δύο διανύσματα δείχνουν προς την ίδια κατεύθυνση.

Τι σου δείχνει το εσωτερικό γινόμενο

Το εσωτερικό γινόμενο λέγεται και βαθμωτό γινόμενο, επειδή το αποτέλεσμα είναι βαθμωτό μέγεθος και όχι άλλο διάνυσμα.

Στον ευκλείδειο χώρο, το πρόσημο δίνει μια γρήγορη πληροφορία για τη γωνία. Θετικό εσωτερικό γινόμενο σημαίνει ότι η γωνία είναι οξεία, μηδενικό εσωτερικό γινόμενο σημαίνει ότι τα διανύσματα είναι κάθετα αν και τα δύο είναι μη μηδενικά, και αρνητικό εσωτερικό γινόμενο σημαίνει ότι η γωνία είναι αμβλεία.

Μια ιδιαίτερα σημαντική περίπτωση είναι όταν ένα διάνυσμα πολλαπλασιάζεται εσωτερικά με τον εαυτό του:

$$u \cdot u = u_1^2 + u_2^2 + \dots + u_n^2.$$

Στον ευκλείδειο χώρο, αυτό ισούται με $|u|^2$, άρα δεν μπορεί να είναι αρνητικό. Γι’ αυτό το $u \cdot u$ χρησιμοποιείται συχνά για να βρούμε μήκος χωρίς να πάρουμε τετραγωνική ρίζα.

Πώς να υπολογίσεις το εσωτερικό γινόμενο

Χρησιμοποίησε τον τύπο των συντεταγμένων σε τρία βήματα:

1. Γράψε τα διανύσματα με την ίδια σειρά και έλεγξε ότι έχουν την ίδια διάσταση.
2. Πολλαπλασίασε τα αντίστοιχα στοιχεία.
3. Πρόσθεσε τα αποτελέσματα.

Δεν αλλάζεις τη σειρά των στοιχείων. Το πρώτο στοιχείο ταιριάζει με το πρώτο, το δεύτερο με το δεύτερο, και ούτω καθεξής.

Λυμένο παράδειγμα εσωτερικού γινομένου

Βρες το εσωτερικό γινόμενο των

$$u = (2, -1, 3), \qquad v = (4, 5, 1).$$

Πολλαπλασίασε τα αντίστοιχα στοιχεία:

$$2 \cdot 4 = 8, \qquad (-1) \cdot 5 = -5, \qquad 3 \cdot 1 = 3.$$

Τώρα πρόσθεσε:

$$u \cdot v = 8 + (-5) + 3 = 6.$$

Άρα το εσωτερικό γινόμενο είναι $6$.

Τι σου λέει το $6$; Στον ευκλείδειο χώρο, το θετικό αποτέλεσμα δείχνει ότι η γωνία ανάμεσα στα διανύσματα είναι οξεία. Δεν σημαίνει ότι τα διανύσματα είναι ίσα ή παράλληλα. Σημαίνει μόνο ότι η κατευθυντική τους συνιστώσα είναι θετική.

Γεωμετρική σημασία του εσωτερικού γινομένου

Στην ευκλείδεια γεωμετρία, το εσωτερικό γινόμενο μετρά πόσο ένα διάνυσμα δείχνει προς την κατεύθυνση του άλλου. Αν τα διανύσματα δείχνουν σχεδόν προς την ίδια κατεύθυνση, το εσωτερικό γινόμενο είναι μεγάλο και θετικό. Αν σχηματίζουν ορθή γωνία, το εσωτερικό γινόμενο είναι $0$. Αν δείχνουν κυρίως προς αντίθετες κατευθύνσεις, το εσωτερικό γινόμενο είναι αρνητικό.

Αυτό προκύπτει από τον τύπο

$$u \cdot v = |u||v|\cos\theta$$

επειδή ο όρος του συνημιτόνου καθορίζει το πρόσημο και το μέγεθος:

• $\cos\theta > 0$ για οξείες γωνίες, άρα το εσωτερικό γινόμενο είναι θετικό.
• $\cos\theta = 0$ για ορθή γωνία, άρα το εσωτερικό γινόμενο είναι $0$.
• $\cos\theta < 0$ για αμβλείες γωνίες, άρα το εσωτερικό γινόμενο είναι αρνητικό.

Αυτή η ερμηνεία με βάση τη γωνία εξαρτάται από το τυπικό ευκλείδειο εσωτερικό γινόμενο. Αν δουλεύεις με διαφορετικό εσωτερικό γινόμενο, η γεωμετρία μπορεί να αλλάξει, οπότε η συνηθισμένη εικόνα της γωνίας δεν μεταφέρεται αυτόματα.

Συνηθισμένα λάθη στο εσωτερικό γινόμενο

Να ξεχνάς να ελέγξεις πρώτα τη διάσταση

Το τυπικό εσωτερικό γινόμενο δεν ορίζεται για ένα διάνυσμα στο επίπεδο και ένα διάνυσμα στον χώρο. Τα διανύσματα πρέπει να έχουν τον ίδιο αριθμό στοιχείων.

Να το μπερδεύεις με τον κατά συνιστώσα πολλαπλασιασμό

Για τα $(2,3)$ και $(4,5)$, το εσωτερικό γινόμενο είναι

$$2 \cdot 4 + 3 \cdot 5 = 23,$$

όχι $(8,15)$.

Να θεωρείς ότι ένα θετικό αποτέλεσμα αποδεικνύει παραλληλία

Ένα θετικό εσωτερικό γινόμενο δείχνει μόνο ότι η γωνία είναι οξεία στον ευκλείδειο χώρο. Πολλά διαφορετικά ζεύγη διανυσμάτων μπορούν να έχουν θετικό εσωτερικό γινόμενο.

Να ξεχνάς τη συνθήκη πίσω από το "$u \cdot v = 0$ σημαίνει κάθετα"

Αυτή η πρόταση ισχύει στο τυπικό ευκλείδειο πλαίσιο. Αυτό είναι το πλαίσιο που χρησιμοποιούν τα περισσότερα εισαγωγικά προβλήματα, αλλά η συνθήκη παραμένει σημαντική.

Πού χρησιμοποιείται το εσωτερικό γινόμενο

Το εσωτερικό γινόμενο εμφανίζεται κάθε φορά που η κατεύθυνση έχει σημασία αλλά η τελική απάντηση πρέπει να είναι ένας αριθμός.

Στη γεωμετρία, βοηθά στον έλεγχο της ορθογωνιότητας και στον υπολογισμό γωνιών. Στη φυσική, εμφανίζεται σε τύπους όπως το έργο, όπου μετρά μόνο η συνιστώσα της δύναμης προς την κατεύθυνση της κίνησης. Στη γραμμική άλγεβρα και στα εφαρμοσμένα μαθηματικά, εμφανίζεται επίσης σε προβολές, σε ιδέες ελαχίστων τετραγώνων και σε υπολογισμούς ομοιότητας.

Δοκίμασε ένα παρόμοιο πρόβλημα με εσωτερικό γινόμενο

Δοκίμασε

$$u = (1, 2, -2), \qquad v = (3, -1, 4).$$

Υπολόγισε το $u \cdot v$ και μετά το $u \cdot u$. Αυτή η δεύτερη τιμή είναι ένας καλός τρόπος να δεις γιατί ένα διάνυσμα σε εσωτερικό γινόμενο με τον εαυτό του συμπεριφέρεται διαφορετικά από το εσωτερικό γινόμενο δύο διαφορετικών διανυσμάτων.