Multiplicación de matrices — Cómo multiplicar matrices

Para multiplicar matrices, el número de columnas de la primera matriz debe ser igual al número de filas de la segunda. Si se cumple esa condición, cada entrada del producto se obtiene a partir de una fila de la primera matriz y una columna de la segunda.

Eso te da las dos comprobaciones que los estudiantes suelen necesitar de inmediato: si el producto está definido y cuál será el tamaño de la respuesta.

Cómo multiplicar matrices en 3 pasos

1. Comprueba las dimensiones interiores. Si no coinciden, el producto no está definido.
2. Usa las dimensiones exteriores para obtener el tamaño de la respuesta.
3. Para cada entrada, multiplica las entradas correspondientes de la fila y la columna, y luego suma esos productos.

La regla de las dimensiones

Si

$$A \text{ is } m \times n \quad \text{and} \quad B \text{ is } n \times p,$$

entonces $AB$ está definido, y el resultado tiene tamaño

$$m \times p.$$

Las dimensiones interiores deben coincidir. Las dimensiones exteriores te indican el tamaño de la respuesta.

Por ejemplo, una matriz de $2 \times 3$ puede multiplicar a una matriz de $3 \times 4$, y el resultado será de $2 \times 4$. Pero una matriz de $2 \times 3$ no puede multiplicar a una matriz de $2 \times 4$ en ese orden, porque las dimensiones interiores no coinciden.

Qué significa realmente fila por columna

Para hallar una entrada de $AB$, toma una fila de $A$ y una columna de $B$.

Si la fila es

$$[a_1 \quad a_2 \quad a_3]$$

y la columna es

$$\begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix},$$

entonces la entrada correspondiente en el producto es

$$a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3.$$

Así que la multiplicación estándar de matrices no es una multiplicación entrada por entrada. Es una suma de productos construida a partir de un par fila-columna.

Ejemplo resuelto

Multiplica

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ -1 & 3 & 4 \end{bmatrix} \quad \text{and} \quad B = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -2 \\ 5 & 3 \end{bmatrix}.$$

Primero comprueba los tamaños. $A$ es $2 \times 3$, y $B$ es $3 \times 2$, así que el producto $AB$ está definido. La respuesta será una matriz de $2 \times 2$.

Ahora calcula cada entrada.

La entrada superior izquierda usa la fila 1 de $A$ y la columna 1 de $B$:

$$1 \cdot 2 + 2 \cdot 0 + 0 \cdot 5 = 2.$$

La entrada superior derecha usa la fila 1 de $A$ y la columna 2 de $B$:

$$1 \cdot 1 + 2 \cdot (-2) + 0 \cdot 3 = -3.$$

La entrada inferior izquierda usa la fila 2 de $A$ y la columna 1 de $B$:

$$(-1) \cdot 2 + 3 \cdot 0 + 4 \cdot 5 = 18.$$

La entrada inferior derecha usa la fila 2 de $A$ y la columna 2 de $B$:

$$(-1) \cdot 1 + 3 \cdot (-2) + 4 \cdot 3 = 5.$$

Por tanto,

$$AB = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 18 & 5 \end{bmatrix}.$$

Este único ejemplo muestra el patrón completo. Cada posición de la respuesta proviene de una combinación fila-columna.

Por qué importa el orden

En la aritmética ordinaria, $ab = ba$. En matrices, eso no suele ser cierto.

Incluso cuando ambos productos existen, $AB$ y $BA$ pueden ser diferentes. En algunos casos, un producto está definido y el otro no. Por eso, el orden forma parte del problema, no es un detalle superficial.

Errores comunes

Saltarse la comprobación de dimensiones

Muchos errores ocurren antes de empezar cualquier cálculo. Si las dimensiones interiores no coinciden, el producto no está definido.

Multiplicar directamente las posiciones correspondientes

Si multiplicas las entradas de la esquina superior izquierda entre sí, y luego el siguiente par correspondiente, estás haciendo una operación distinta. La multiplicación estándar de matrices usa sumas fila por columna.

Confundir filas y columnas

Cada entrada necesita una fila específica de la primera matriz y una columna específica de la segunda. Reutilizar la columna equivocada es un error de procedimiento muy común.

Suponer que el orden inverso da la misma respuesta

No debes esperar que $AB = BA$. La multiplicación de matrices, en general, no es conmutativa.

Cuándo se usa la multiplicación de matrices

La multiplicación de matrices se usa cuando un proceso lineal va seguido de otro. En un curso introductorio, esto suele aparecer en sistemas de ecuaciones o transformaciones geométricas. En aplicaciones, la misma idea aparece en gráficos por computadora, modelos de datos y computación científica.

La intuición útil es simple: una matriz actúa primero, y la siguiente actúa sobre ese resultado. Por eso importa el orden.

Prueba tu propia versión

Intenta multiplicar

$$\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 5 & 2 \end{bmatrix}.$$

Predice el tamaño de la respuesta antes de calcular cualquier entrada. Si quieres comprobar tu planteamiento después de hacerlo a mano, prueba tu propia versión en GPAI Solver.