Ορίζουσες: έννοια, ιδιότητες, ανάπτυξη και κανόνας του Cramer

Η ορίζουσα είναι ένας μοναδικός αριθμός που αντιστοιχεί σε έναν τετραγωνικό πίνακα. Στην πράξη, απαντά γρήγορα σε δύο συνηθισμένα ερωτήματα: αν ο πίνακας είναι αντιστρέψιμος και πώς ο αντίστοιχος γραμμικός μετασχηματισμός κλιμακώνει εμβαδό ή όγκο.

Δύο συνθήκες έχουν σημασία από την αρχή. Οι ορίζουσες ορίζονται μόνο για τετραγωνικούς πίνακες. Αν $\det(A)=0$, ο πίνακας είναι ιδιάζων, άρα δεν έχει αντίστροφο.

Τι σημαίνει η ορίζουσα

Για έναν πίνακα $2 \times 2$

$$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix},$$

η ορίζουσα είναι

$$\det(A) = ad - bc.$$

Αν ένας τετραγωνικός πίνακας παριστάνει έναν γραμμικό μετασχηματισμό, τότε το $|\det(A)|$ δίνει τον συντελεστή κλιμάκωσης του εμβαδού στις $2$ διαστάσεις ή του όγκου στις $3$ διαστάσεις. Το πρόσημο δείχνει αν ο προσανατολισμός διατηρείται ή αντιστρέφεται. Αυτή η γεωμετρική ερμηνεία συνδέεται με το συνηθισμένο ευκλείδειο πλαίσιο.

Αυτός είναι επίσης ο γρήγορος έλεγχος αντιστρεψιμότητας: $\det(A) \ne 0$ σημαίνει ότι ο $A$ είναι αντιστρέψιμος, ενώ $\det(A)=0$ σημαίνει ότι δεν είναι.

Οι σημαντικότερες ιδιότητες της ορίζουσας

Δεν χρειάζεσαι μια μεγάλη λίστα για να χρησιμοποιείς σωστά τις ορίζουσες. Αυτές είναι οι ιδιότητες που συνήθως έχουν τη μεγαλύτερη σημασία:

• Αν ανταλλάξουν θέση δύο γραμμές, η ορίζουσα αλλάζει πρόσημο.
• Αν μία γραμμή πολλαπλασιαστεί με μια σταθερά $k$, η ορίζουσα πολλαπλασιάζεται με $k$.
• Αν προστεθεί σε μία γραμμή πολλαπλάσιο μιας άλλης γραμμής, η ορίζουσα παραμένει ίδια.
• Αν ένας πίνακας έχει δύο ίσες γραμμές ή μία γραμμή είναι πολλαπλάσιο μιας άλλης, η ορίζουσά του είναι $0$.
• Αν $\det(A) \ne 0$, τότε ο $A$ είναι αντιστρέψιμος. Αν $\det(A)=0$, δεν είναι.

Αυτά τα γεγονότα για τις πράξεις γραμμών είναι ιδιαίτερα χρήσιμα, γιατί σου επιτρέπουν να απλοποιήσεις έναν πίνακα πριν υπολογίσεις την ορίζουσά του.

Πώς λειτουργεί η ανάπτυξη κατά συμπαράγοντες

Για έναν πίνακα $3 \times 3$ ή μεγαλύτερο, μια βασική μέθοδος είναι η ανάπτυξη κατά συμπαράγοντες. Η ιδέα είναι να επιλέξεις μία γραμμή ή μία στήλη και έπειτα να συνδυάσεις τα στοιχεία της με μικρότερες ορίζουσες.

Για έναν πίνακα $A = (a_{ij})$, ο συμπαράγοντας στη θέση $(i,j)$ είναι

$$C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij},$$

όπου $M_{ij}$ είναι η ορίζουσα του μικρότερου πίνακα που μένει αφού διαγράψουμε τη γραμμή $i$ και τη στήλη $j$.

Τότε η ανάπτυξη ως προς τη γραμμή $i$ είναι

$$\det(A) = a_{i1}C_{i1} + a_{i2}C_{i2} + \dots + a_{in}C_{in}.$$

Τα πρόσημα εναλλάσσονται σε μοτίβο σκακιέρας:

$$\begin{bmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{bmatrix}$$

Στην πράξη, διάλεξε μια γραμμή ή στήλη με μηδενικά όταν είναι δυνατό. Έτσι μειώνεται ο όγκος των υπολογισμών.

Λυμένο παράδειγμα: εύρεση ορίζουσας $3 \times 3$

Έστω

$$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 3 & -1 & 4 \\ 0 & 2 & 5 \end{bmatrix}.$$

Κάνουμε ανάπτυξη ως προς την πρώτη γραμμή. Είναι καλή επιλογή εδώ, γιατί το τρίτο στοιχείο είναι $0$.

$$\det(A) = 2 \begin{vmatrix} -1 & 4 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 0 & 5 \end{vmatrix} + 0 \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix}$$

Τώρα υπολογίζουμε τις ορίζουσες $2 \times 2$:

$$\begin{vmatrix} -1 & 4 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} = (-1)(5) - (4)(2) = -13$$

και

$$\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 0 & 5 \end{vmatrix} = (3)(5) - (4)(0) = 15.$$

Άρα

$$\det(A) = 2(-13) - 1(15) + 0 = -26 - 15 = -41.$$

Αυτό το αποτέλεσμα έχει δύο άμεσες συνέπειες. Αφού $\det(A) \ne 0$, ο πίνακας είναι αντιστρέψιμος. Γεωμετρικά, ο αντίστοιχος μετασχηματισμός στο $3$D κλιμακώνει τον προσημασμένο όγκο με παράγοντα $-41$, άρα ο προσανατολισμός αντιστρέφεται.

Πότε να χρησιμοποιείς τον κανόνα του Cramer

Ο κανόνας του Cramer χρησιμοποιεί ορίζουσες για να λύσει ένα τετραγωνικό σύστημα γραμμικών εξισώσεων. Εφαρμόζεται μόνο όταν ο πίνακας συντελεστών είναι τετραγωνικός και έχει μη μηδενική ορίζουσα.

Αν

$$Ax=b$$

με τον $A$ τετραγωνικό και $\det(A) \ne 0$, τότε

$$x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)},$$

όπου ο $A_i$ προκύπτει αν αντικαταστήσουμε την $i$-οστή στήλη του $A$ με τη στήλη των σταθερών $b$.

Αυτή είναι μια καθαρή μέθοδος για μικρά συστήματα, γιατί δείχνει ακριβώς γιατί μια μη μηδενική ορίζουσα αντιστοιχεί σε μοναδική λύση. Αν $\det(A)=0$, ο κανόνας του Cramer δεν δίνει μοναδική λύση.

Συνηθισμένα λάθη με ορίζουσες

Χρήση οριζουσών σε μη τετραγωνικούς πίνακες

Ένας πίνακας $2 \times 3$ δεν έχει ορίζουσα. Η προϋπόθεση του τετραγωνικού πίνακα έρχεται πρώτη.

Απώλεια των προσήμων των συμπαραγόντων

Στην ανάπτυξη, το μοτίβο προσήμων έχει την ίδια σημασία με τους ελάσσονες. Ένας σωστός ελάσσων με λάθος πρόσημο δίνει πάλι λάθος ορίζουσα.

Ξεχνάς τι κάνουν οι πράξεις γραμμών

Δεν αφήνει κάθε πράξη γραμμών την ορίζουσα αμετάβλητη. Η ανταλλαγή γραμμών αλλάζει το πρόσημο, ο πολλαπλασιασμός μιας γραμμής κλιμακώνει την ορίζουσα και μόνο η πρόσθεση πολλαπλασίου μιας γραμμής σε άλλη την αφήνει ίδια.

Χρήση του κανόνα του Cramer όταν $\det(A)=0$

Ο τύπος διαιρεί με την $\det(A)$. Αν αυτή η ορίζουσα είναι $0$, η μέθοδος δεν παράγει μοναδική λύση.

Πού χρησιμοποιούνται οι ορίζουσες

Οι ορίζουσες εμφανίζονται σε όλη τη γραμμική άλγεβρα, γιατί συνδέουν αρκετά σημαντικά ερωτήματα: έχει ένας πίνακας αντίστροφο, έχει ένα γραμμικό σύστημα μοναδική λύση και πώς ένας μετασχηματισμός αλλάζει εμβαδό ή όγκο;

Εμφανίζονται επίσης στην αλλαγή μεταβλητών, στις ιδιοτιμές, στη γεωμετρία και στις διαφορικές εξισώσεις. Σε πολλά εισαγωγικά προβλήματα, όμως, η πιο πρακτική χρήση παραμένει η πιο απλή: ο έλεγχος αν ένας τετραγωνικός πίνακας είναι ιδιάζων.

Δοκίμασε τη δική σου εκδοχή

Δοκίμασε να αναπτύξεις

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 4 & 3 & 1 \\ 0 & -2 & 5 \end{bmatrix}$$

ως προς την πρώτη γραμμή. Αφού βρεις την ορίζουσα, αποφάσισε αν ο πίνακας είναι αντιστρέψιμος. Έπειτα έλεγξε κάθε ελάσσονα και το μοτίβο προσήμων πριν συγκρίνεις την τελική σου απάντηση.