Perkalian Matriks — Cara Mengalikan Matriks

Untuk mengalikan matriks, jumlah kolom pada matriks pertama harus sama dengan jumlah baris pada matriks kedua. Jika syarat itu terpenuhi, setiap entri pada hasil diperoleh dari satu baris matriks pertama dan satu kolom matriks kedua.

Ini memberi dua pemeriksaan yang biasanya langsung dibutuhkan siswa: apakah perkalian terdefinisi dan berapa ukuran hasilnya.

Cara mengalikan matriks dalam 3 langkah

1. Periksa dimensi dalam. Jika tidak sama, hasil kali tidak terdefinisi.
2. Gunakan dimensi luar untuk menentukan ukuran hasil.
3. Untuk setiap entri, kalikan elemen baris dan kolom yang bersesuaian, lalu jumlahkan hasil perkalian tersebut.

Aturan dimensi

Jika

$$A \text{ is } m \times n \quad \text{and} \quad B \text{ is } n \times p,$$

maka $AB$ terdefinisi, dan hasilnya berukuran

$$m \times p.$$

Dimensi dalam harus sama. Dimensi luar menunjukkan ukuran hasil.

Sebagai contoh, matriks berukuran $2 \times 3$ dapat dikalikan dengan matriks berukuran $3 \times 4$, dan hasilnya akan berukuran $2 \times 4$. Tetapi matriks berukuran $2 \times 3$ tidak dapat dikalikan dengan matriks berukuran $2 \times 4$ dalam urutan tersebut, karena dimensi dalamnya tidak sama.

Apa arti baris kali kolom sebenarnya

Untuk mencari satu entri dari $AB$, ambil satu baris dari $A$ dan satu kolom dari $B$.

Jika barisnya adalah

$$[a_1 \quad a_2 \quad a_3]$$

dan kolomnya adalah

$$\begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix},$$

maka entri yang bersesuaian pada hasil adalah

$$a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3.$$

Jadi, perkalian matriks standar bukan perkalian elemen per elemen. Ini adalah penjumlahan hasil kali yang dibentuk dari satu pasangan baris-kolom.

Contoh pengerjaan

Kalikan

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ -1 & 3 & 4 \end{bmatrix} \quad \text{and} \quad B = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -2 \\ 5 & 3 \end{bmatrix}.$$

Pertama, periksa ukurannya. $A$ berukuran $2 \times 3$, dan $B$ berukuran $3 \times 2$, jadi hasil kali $AB$ terdefinisi. Jawabannya akan berupa matriks berukuran $2 \times 2$.

Sekarang hitung setiap entri.

Entri kiri atas menggunakan baris 1 dari $A$ dan kolom 1 dari $B$:

$$1 \cdot 2 + 2 \cdot 0 + 0 \cdot 5 = 2.$$

Entri kanan atas menggunakan baris 1 dari $A$ dan kolom 2 dari $B$:

$$1 \cdot 1 + 2 \cdot (-2) + 0 \cdot 3 = -3.$$

Entri kiri bawah menggunakan baris 2 dari $A$ dan kolom 1 dari $B$:

$$(-1) \cdot 2 + 3 \cdot 0 + 4 \cdot 5 = 18.$$

Entri kanan bawah menggunakan baris 2 dari $A$ dan kolom 2 dari $B$:

$$(-1) \cdot 1 + 3 \cdot (-2) + 4 \cdot 3 = 5.$$

Jadi

$$AB = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 18 & 5 \end{bmatrix}.$$

Satu contoh ini sudah menunjukkan pola lengkapnya. Setiap posisi pada hasil berasal dari satu pasangan baris-kolom.

Mengapa urutan penting

Dalam aritmetika biasa, $ab = ba$. Untuk matriks, hal itu umumnya tidak benar.

Bahkan ketika kedua hasil kali ada, $AB$ dan $BA$ bisa berbeda. Dalam beberapa kasus, satu hasil kali terdefinisi dan yang lainnya tidak. Jadi urutan adalah bagian dari soal, bukan sekadar detail kecil.

Kesalahan umum

Melewatkan pemeriksaan dimensi

Banyak kesalahan terjadi sebelum perhitungan dimulai. Jika dimensi dalam tidak sama, hasil kali tidak terdefinisi.

Mengalikan posisi yang sama secara langsung

Jika Anda mengalikan entri kiri atas dengan kiri atas, lalu pasangan yang sama berikutnya, berarti Anda sedang melakukan operasi yang berbeda. Perkalian matriks standar menggunakan penjumlahan baris-kolom.

Tertukar antara baris dan kolom

Setiap entri membutuhkan satu baris tertentu dari matriks pertama dan satu kolom tertentu dari matriks kedua. Menggunakan kembali kolom yang salah adalah kesalahan pencatatan yang sangat umum.

Menganggap urutan terbalik memberi jawaban yang sama

Anda tidak boleh mengharapkan $AB = BA$. Perkalian matriks pada umumnya tidak komutatif.

Kapan perkalian matriks digunakan

Perkalian matriks digunakan ketika satu proses linear diikuti oleh proses linear lainnya. Dalam mata kuliah pengantar, ini sering muncul pada sistem persamaan atau transformasi geometri. Dalam penerapan, gagasan yang sama muncul dalam grafika komputer, model data, dan komputasi ilmiah.

Intuisi yang berguna itu sederhana: satu matriks bekerja lebih dulu, lalu matriks berikutnya bekerja pada hasil tersebut. Itulah sebabnya urutan penting.

Coba versi Anda sendiri

Coba kalikan

$$\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 5 & 2 \end{bmatrix}.$$

Prediksi ukuran hasilnya sebelum Anda menghitung entri apa pun. Jika Anda ingin memeriksa langkah Anda setelah mengerjakannya secara manual, coba versi Anda sendiri di GPAI Solver.