Phép nhân ma trận — Cách nhân ma trận

Để nhân hai ma trận, số cột của ma trận thứ nhất phải bằng số hàng của ma trận thứ hai. Nếu điều kiện đó đúng, mỗi phần tử trong tích được tạo từ một hàng của ma trận thứ nhất và một cột của ma trận thứ hai.

Điều này cho bạn hai kiểm tra mà học sinh thường cần ngay: tích có xác định hay không và kết quả sẽ có kích thước bao nhiêu.

Cách nhân ma trận trong 3 bước

1. Kiểm tra hai kích thước bên trong. Nếu chúng không khớp, tích không xác định.
2. Dùng hai kích thước bên ngoài để xác định kích thước của kết quả.
3. Với mỗi phần tử, nhân các phần tử tương ứng của hàng và cột rồi cộng các tích đó lại.

Quy tắc kích thước

Nếu

$$A \text{ is } m \times n \quad \text{and} \quad B \text{ is } n \times p,$$

thì $AB$ xác định, và kết quả có kích thước

$$m \times p.$$

Hai kích thước bên trong phải khớp nhau. Hai kích thước bên ngoài cho bạn biết kích thước của kết quả.

Ví dụ, một ma trận $2 \times 3$ có thể nhân với một ma trận $3 \times 4$, và kết quả sẽ là $2 \times 4$. Nhưng một ma trận $2 \times 3$ không thể nhân với một ma trận $2 \times 4$ theo thứ tự đó, vì hai kích thước bên trong không khớp.

“Hàng nhân cột” thực sự có nghĩa là gì

Để tìm một phần tử của $AB$, lấy một hàng từ $A$ và một cột từ $B$.

Nếu hàng là

$$[a_1 \quad a_2 \quad a_3]$$

và cột là

$$\begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix},$$

thì phần tử tương ứng trong tích là

$$a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3.$$

Vì vậy, phép nhân ma trận chuẩn không phải là nhân từng phần tử theo vị trí. Nó là tổng các tích được tạo từ một cặp hàng–cột.

Ví dụ có lời giải

Nhân

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ -1 & 3 & 4 \end{bmatrix} \quad \text{and} \quad B = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -2 \\ 5 & 3 \end{bmatrix}.$$

Trước hết kiểm tra kích thước. $A$ là $2 \times 3$, và $B$ là $3 \times 2$, nên tích $AB$ xác định. Kết quả sẽ là một ma trận $2 \times 2$.

Bây giờ tính từng phần tử.

Phần tử trên bên trái dùng hàng 1 của $A$ và cột 1 của $B$:

$$1 \cdot 2 + 2 \cdot 0 + 0 \cdot 5 = 2.$$

Phần tử trên bên phải dùng hàng 1 của $A$ và cột 2 của $B$:

$$1 \cdot 1 + 2 \cdot (-2) + 0 \cdot 3 = -3.$$

Phần tử dưới bên trái dùng hàng 2 của $A$ và cột 1 của $B$:

$$(-1) \cdot 2 + 3 \cdot 0 + 4 \cdot 5 = 18.$$

Phần tử dưới bên phải dùng hàng 2 của $A$ và cột 2 của $B$:

$$(-1) \cdot 1 + 3 \cdot (-2) + 4 \cdot 3 = 5.$$

Vậy

$$AB = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 18 & 5 \end{bmatrix}.$$

Chỉ một ví dụ này đã cho thấy toàn bộ quy luật. Mỗi vị trí trong kết quả được tạo từ một cặp hàng–cột.

Vì sao thứ tự quan trọng

Trong số học thông thường, $ab = ba$. Với ma trận, điều đó nhìn chung không đúng.

Ngay cả khi cả hai tích đều tồn tại, $AB$ và $BA$ vẫn có thể khác nhau. Trong một số trường hợp, một tích xác định còn tích kia thì không. Vì vậy, thứ tự là một phần của bài toán, không phải chi tiết hình thức.

Những lỗi thường gặp

Bỏ qua bước kiểm tra kích thước

Nhiều lỗi xảy ra trước cả khi bắt đầu tính toán. Nếu hai kích thước bên trong không khớp, tích không xác định.

Nhân trực tiếp các vị trí tương ứng

Nếu bạn nhân hai phần tử ở góc trên bên trái với nhau, rồi đến cặp tương ứng tiếp theo, thì bạn đang làm một phép toán khác. Phép nhân ma trận chuẩn dùng tổng hàng nhân cột.

Nhầm lẫn giữa hàng và cột

Mỗi phần tử cần một hàng cụ thể từ ma trận thứ nhất và một cột cụ thể từ ma trận thứ hai. Dùng nhầm cột là một lỗi ghi chép rất phổ biến.

Cho rằng đổi thứ tự sẽ cho cùng kết quả

Bạn không nên mong đợi $AB = BA$. Phép nhân ma trận nói chung không có tính giao hoán.

Khi nào dùng phép nhân ma trận

Phép nhân ma trận được dùng khi một quá trình tuyến tính được thực hiện sau một quá trình tuyến tính khác. Trong các khóa học nhập môn, điều này thường xuất hiện trong hệ phương trình hoặc các phép biến đổi hình học. Trong ứng dụng, cùng ý tưởng đó xuất hiện trong đồ họa máy tính, mô hình dữ liệu và tính toán khoa học.

Trực giác hữu ích ở đây rất đơn giản: một ma trận tác động trước, và ma trận tiếp theo tác động lên kết quả đó. Đó là lý do thứ tự lại quan trọng.

Tự thử một ví dụ

Hãy thử nhân

$$\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 5 & 2 \end{bmatrix}.$$

Hãy dự đoán kích thước của kết quả trước khi tính bất kỳ phần tử nào. Nếu muốn kiểm tra cách thiết lập sau khi tự làm bằng tay, hãy thử phiên bản của riêng bạn trong GPAI Solver.