Matris Çarpımı — Matrisler Nasıl Çarpılır?

Matrisleri çarpmak için, birinci matrisin sütun sayısı ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır. Bu koşul sağlanıyorsa, çarpımdaki her eleman birinci matrisin bir satırı ile ikinci matrisin bir sütunundan elde edilir.

Bu da öğrencilerin genelde hemen ihtiyaç duyduğu iki kontrolü verir: çarpımın tanımlı olup olmadığı ve sonucun hangi boyutta olacağı.

Matrisler 3 adımda nasıl çarpılır?

1. İç boyutları kontrol edin. Eşleşmiyorsa çarpım tanımlı değildir.
2. Sonucun boyutunu bulmak için dış boyutları kullanın.
3. Her eleman için, eşleşen satır ve sütun elemanlarını çarpın, sonra bu çarpımları toplayın.

Boyut kuralı

Eğer

$$A \text{ is } m \times n \quad \text{and} \quad B \text{ is } n \times p,$$

ise $AB$ tanımlıdır ve sonucun boyutu

$$m \times p.$$

olur.

İç boyutlar eşleşmelidir. Dış boyutlar ise sonucun boyutunu verir.

Örneğin, $2 \times 3$ boyutunda bir matris $3 \times 4$ boyutunda bir matrisle çarpılabilir ve sonuç $2 \times 4$ boyutunda olur. Ama $2 \times 3$ boyutunda bir matris bu sırayla $2 \times 4$ boyutunda bir matrisle çarpılamaz, çünkü iç boyutlar eşleşmez.

Satır çarpı sütun gerçekten ne demektir?

$AB$ içindeki bir elemanı bulmak için, $A$ matrisinden bir satır ve $B$ matrisinden bir sütun alınır.

Eğer satır

$$[a_1 \quad a_2 \quad a_3]$$

ve sütun

$$\begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix},$$

ise çarpımdaki karşılık gelen eleman

$$a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3.$$

olur.

Yani standart matris çarpımı, elemanları tek tek çarpmak değildir. Bir satır-sütun çiftinden oluşturulan çarpımlar toplamıdır.

Çözümlü örnek

Aşağıdakileri çarpın:

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ -1 & 3 & 4 \end{bmatrix} \quad \text{and} \quad B = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -2 \\ 5 & 3 \end{bmatrix}.$$

Önce boyutları kontrol edin. $A$, $2 \times 3$; $B$ ise $3 \times 2$ boyutundadır, dolayısıyla $AB$ çarpımı tanımlıdır. Sonuç $2 \times 2$ boyutunda bir matris olacaktır.

Şimdi her elemanı hesaplayalım.

Sol üst eleman, $A$'nın 1. satırı ile $B$'nin 1. sütunu kullanılarak bulunur:

$$1 \cdot 2 + 2 \cdot 0 + 0 \cdot 5 = 2.$$

Sağ üst eleman, $A$'nın 1. satırı ile $B$'nin 2. sütunu kullanılarak bulunur:

$$1 \cdot 1 + 2 \cdot (-2) + 0 \cdot 3 = -3.$$

Sol alt eleman, $A$'nın 2. satırı ile $B$'nin 1. sütunu kullanılarak bulunur:

$$(-1) \cdot 2 + 3 \cdot 0 + 4 \cdot 5 = 18.$$

Sağ alt eleman, $A$'nın 2. satırı ile $B$'nin 2. sütunu kullanılarak bulunur:

$$(-1) \cdot 1 + 3 \cdot (-2) + 4 \cdot 3 = 5.$$

Dolayısıyla

$$AB = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 18 & 5 \end{bmatrix}.$$

Bu tek örnek tüm deseni gösterir. Sonuçtaki her konum, bir satır-sütun eşleşmesinden gelir.

Sıra neden önemlidir?

Normal aritmetikte $ab = ba$ olur. Matrislerde ise bu genel olarak doğru değildir.

Her iki çarpım da var olsa bile, $AB$ ile $BA$ farklı olabilir. Bazı durumlarda bir çarpım tanımlıyken diğeri tanımlı değildir. Bu yüzden sıra, önemsiz bir ayrıntı değil, sorunun bir parçasıdır.

Yaygın hatalar

Boyut kontrolünü atlamak

Birçok hata daha aritmetik başlamadan ortaya çıkar. İç boyutlar eşleşmiyorsa çarpım tanımlı değildir.

Aynı konumdaki elemanları doğrudan çarpmak

Sol üstteki elemanları çarpıp sonra sıradaki eşleşen çifte geçiyorsanız, farklı bir işlem yapıyorsunuz demektir. Standart matris çarpımı satır-sütun toplamlarını kullanır.

Satırlarla sütunları karıştırmak

Her eleman için birinci matristen belirli bir satır ve ikinci matristen belirli bir sütun gerekir. Yanlış sütunu tekrar kullanmak çok yaygın bir işlem takibi hatasıdır.

Ters sıranın aynı sonucu vereceğini sanmak

$AB = BA$ olmasını beklememelisiniz. Matris çarpımı genel olarak değişme özelliğine sahip değildir.

Matris çarpımı nerelerde kullanılır?

Matris çarpımı, bir doğrusal işlemin ardından başka bir doğrusal işlem geldiğinde kullanılır. Giriş düzeyindeki bir derste bu durum genelde denklem sistemlerinde veya geometrik dönüşümlerde karşınıza çıkar. Uygulamalarda ise aynı fikir bilgisayar grafikleri, veri modelleri ve bilimsel hesaplamada görülür.

Yararlı sezgi şudur: önce bir matris etki eder, sonra sonraki matris bu sonuca etki eder. Bu yüzden sıra önemlidir.

Kendi örneğinizi deneyin

Aşağıdakileri çarpmayı deneyin:

$$\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 5 & 2 \end{bmatrix}.$$

Herhangi bir elemanı hesaplamadan önce sonucun boyutunu tahmin edin. Elle çözdükten sonra kurulumunuzu kontrol etmek isterseniz, kendi örneğinizi GPAI Solver'da deneyin.