Multiplication de matrices — Comment multiplier des matrices

Pour multiplier des matrices, le nombre de colonnes de la première matrice doit être égal au nombre de lignes de la seconde. Si cette condition est vérifiée, chaque entrée du produit provient d’une ligne de la première matrice et d’une colonne de la seconde.

Cela vous donne les deux vérifications dont les étudiants ont généralement besoin tout de suite : savoir si le produit est défini et connaître la taille du résultat.

Comment multiplier des matrices en 3 étapes

1. Vérifiez les dimensions intérieures. Si elles ne correspondent pas, le produit n’est pas défini.
2. Utilisez les dimensions extérieures pour déterminer la taille du résultat.
3. Pour chaque entrée, multipliez les éléments correspondants de la ligne et de la colonne, puis additionnez ces produits.

La règle des dimensions

Si

$$A \text{ is } m \times n \quad \text{and} \quad B \text{ is } n \times p,$$

alors $AB$ est défini, et le résultat a pour taille

$$m \times p.$$

Les dimensions intérieures doivent correspondre. Les dimensions extérieures vous donnent la taille du résultat.

Par exemple, une matrice $2 \times 3$ peut multiplier une matrice $3 \times 4$, et le résultat sera une matrice $2 \times 4$. Mais une matrice $2 \times 3$ ne peut pas multiplier une matrice $2 \times 4$ dans cet ordre, car les dimensions intérieures ne correspondent pas.

Ce que signifie vraiment ligne par colonne

Pour trouver une entrée de $AB$, prenez une ligne de $A$ et une colonne de $B$.

Si la ligne est

$$[a_1 \quad a_2 \quad a_3]$$

et la colonne est

$$\begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix},$$

alors l’entrée correspondante dans le produit est

$$a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3.$$

Donc, la multiplication matricielle standard n’est pas une multiplication terme à terme. C’est une somme de produits construite à partir d’une paire ligne-colonne.

Exemple détaillé

Multipliez

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ -1 & 3 & 4 \end{bmatrix} \quad \text{and} \quad B = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -2 \\ 5 & 3 \end{bmatrix}.$$

Commencez par vérifier les tailles. $A$ est de taille $2 \times 3$, et $B$ est de taille $3 \times 2$, donc le produit $AB$ est défini. Le résultat sera une matrice $2 \times 2$.

Calculez maintenant chaque entrée.

L’entrée en haut à gauche utilise la ligne 1 de $A$ et la colonne 1 de $B$ :

$$1 \cdot 2 + 2 \cdot 0 + 0 \cdot 5 = 2.$$

L’entrée en haut à droite utilise la ligne 1 de $A$ et la colonne 2 de $B$ :

$$1 \cdot 1 + 2 \cdot (-2) + 0 \cdot 3 = -3.$$

L’entrée en bas à gauche utilise la ligne 2 de $A$ et la colonne 1 de $B$ :

$$(-1) \cdot 2 + 3 \cdot 0 + 4 \cdot 5 = 18.$$

L’entrée en bas à droite utilise la ligne 2 de $A$ et la colonne 2 de $B$ :

$$(-1) \cdot 1 + 3 \cdot (-2) + 4 \cdot 3 = 5.$$

Donc

$$AB = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 18 & 5 \end{bmatrix}.$$

Cet exemple unique montre tout le schéma. Chaque position dans le résultat provient d’une association ligne-colonne.

Pourquoi l’ordre compte

En arithmétique ordinaire, $ab = ba$. Pour les matrices, ce n’est généralement pas vrai.

Même lorsque les deux produits existent, $AB$ et $BA$ peuvent être différents. Dans certains cas, un produit est défini et l’autre ne l’est pas. L’ordre fait donc partie du problème, ce n’est pas un simple détail de présentation.

Erreurs courantes

Sauter la vérification des dimensions

Beaucoup d’erreurs se produisent avant même de commencer les calculs. Si les dimensions intérieures ne correspondent pas, le produit n’est pas défini.

Multiplier directement les positions correspondantes

Si vous multipliez ensemble les entrées en haut à gauche, puis la paire correspondante suivante, vous effectuez une autre opération. La multiplication matricielle standard utilise des sommes ligne par colonne.

Confondre lignes et colonnes

Chaque entrée nécessite une ligne précise de la première matrice et une colonne précise de la seconde. Réutiliser la mauvaise colonne est une erreur de repérage très fréquente.

Supposer que l’ordre inverse donne la même réponse

Il ne faut pas s’attendre à ce que $AB = BA$. La multiplication matricielle n’est généralement pas commutative.

Quand utilise-t-on la multiplication de matrices ?

La multiplication de matrices est utilisée lorsqu’un processus linéaire est suivi d’un autre. Dans un cours d’introduction, cela apparaît souvent dans les systèmes d’équations ou les transformations géométriques. Dans les applications, la même idée se retrouve en infographie, dans les modèles de données et en calcul scientifique.

L’intuition utile est simple : une matrice agit d’abord, puis la matrice suivante agit sur ce résultat. C’est pour cela que l’ordre compte.

Essayez votre propre version

Essayez de multiplier

$$\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 5 & 2 \end{bmatrix}.$$

Prédisez la taille du résultat avant de calculer la moindre entrée. Si vous voulez vérifier votre méthode après l’avoir fait à la main, essayez votre propre version dans GPAI Solver.