Multiplicação de Matrizes — Como Multiplicar Matrizes

Para multiplicar matrizes, o número de colunas da primeira matriz deve ser igual ao número de linhas da segunda. Se essa condição for verdadeira, cada entrada do produto vem de uma linha da primeira matriz e de uma coluna da segunda.

Isso dá as duas verificações de que os estudantes geralmente precisam logo de início: se o produto está definido e qual será o tamanho da resposta.

Como multiplicar matrizes em 3 passos

1. Verifique as dimensões internas. Se elas não coincidirem, o produto não está definido.
2. Use as dimensões externas para obter o tamanho da resposta.
3. Para cada entrada, multiplique os elementos correspondentes da linha e da coluna, depois some esses produtos.

A regra das dimensões

Se

$$A \text{ is } m \times n \quad \text{and} \quad B \text{ is } n \times p,$$

então $AB$ está definido, e o resultado tem tamanho

$$m \times p.$$

As dimensões internas devem coincidir. As dimensões externas indicam o tamanho da resposta.

Por exemplo, uma matriz $2 \times 3$ pode multiplicar uma matriz $3 \times 4$, e o resultado será $2 \times 4$. Mas uma matriz $2 \times 3$ não pode multiplicar uma matriz $2 \times 4$ nessa ordem, porque as dimensões internas não coincidem.

O que linha por coluna realmente significa

Para encontrar uma entrada de $AB$, pegue uma linha de $A$ e uma coluna de $B$.

Se a linha for

$$[a_1 \quad a_2 \quad a_3]$$

e a coluna for

$$\begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix},$$

então a entrada correspondente no produto é

$$a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3.$$

Portanto, a multiplicação padrão de matrizes não é uma multiplicação elemento por elemento. Ela é uma soma de produtos construída a partir de um par linha-coluna.

Exemplo resolvido

Multiplique

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ -1 & 3 & 4 \end{bmatrix} \quad \text{and} \quad B = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -2 \\ 5 & 3 \end{bmatrix}.$$

Primeiro, verifique os tamanhos. $A$ é $2 \times 3$, e $B$ é $3 \times 2$, então o produto $AB$ está definido. A resposta será uma matriz $2 \times 2$.

Agora calcule cada entrada.

A entrada superior esquerda usa a linha 1 de $A$ e a coluna 1 de $B$:

$$1 \cdot 2 + 2 \cdot 0 + 0 \cdot 5 = 2.$$

A entrada superior direita usa a linha 1 de $A$ e a coluna 2 de $B$:

$$1 \cdot 1 + 2 \cdot (-2) + 0 \cdot 3 = -3.$$

A entrada inferior esquerda usa a linha 2 de $A$ e a coluna 1 de $B$:

$$(-1) \cdot 2 + 3 \cdot 0 + 4 \cdot 5 = 18.$$

A entrada inferior direita usa a linha 2 de $A$ e a coluna 2 de $B$:

$$(-1) \cdot 1 + 3 \cdot (-2) + 4 \cdot 3 = 5.$$

Então,

$$AB = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 18 & 5 \end{bmatrix}.$$

Esse único exemplo mostra o padrão completo. Cada posição na resposta vem de um emparelhamento entre uma linha e uma coluna.

Por que a ordem importa

Na aritmética comum, $ab = ba$. Para matrizes, isso geralmente não é verdade.

Mesmo quando os dois produtos existem, $AB$ e $BA$ podem ser diferentes. Em alguns casos, um produto está definido e o outro não. Portanto, a ordem faz parte do problema, não é um detalhe cosmético.

Erros comuns

Pular a verificação das dimensões

Muitos erros acontecem antes mesmo de começar a conta. Se as dimensões internas não coincidirem, o produto não está definido.

Multiplicar diretamente as posições correspondentes

Se você multiplica as entradas do canto superior esquerdo, depois o próximo par correspondente, está fazendo uma operação diferente. A multiplicação padrão de matrizes usa somas linha por coluna.

Confundir linhas e colunas

Cada entrada precisa de uma linha específica da primeira matriz e de uma coluna específica da segunda. Reutilizar a coluna errada é um erro de organização muito comum.

Supor que a ordem inversa dá a mesma resposta

Você não deve esperar que $AB = BA$. A multiplicação de matrizes, em geral, não é comutativa.

Quando a multiplicação de matrizes é usada

A multiplicação de matrizes é usada quando um processo linear é seguido por outro. Em um curso introdutório, isso costuma aparecer em sistemas de equações ou transformações geométricas. Em aplicações, a mesma ideia aparece em computação gráfica, modelos de dados e computação científica.

A intuição útil é simples: uma matriz atua primeiro, e a matriz seguinte atua sobre esse resultado. É por isso que a ordem importa.

Tente sua própria versão

Tente multiplicar

$$\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 5 & 2 \end{bmatrix}.$$

Preveja o tamanho da resposta antes de calcular qualquer entrada. Se quiser conferir sua montagem depois de fazer à mão, teste sua própria versão no GPAI Solver.