Mnożenie macierzy — jak mnożyć macierze

Aby mnożyć macierze, liczba kolumn w pierwszej macierzy musi być równa liczbie wierszy w drugiej. Jeśli ten warunek jest spełniony, każdy element iloczynu powstaje z jednego wiersza pierwszej macierzy i jednej kolumny drugiej.

To daje dwie rzeczy, które uczniowie zwykle muszą sprawdzić od razu: czy iloczyn jest określony i jaki będzie miał wymiar wynik.

Jak mnożyć macierze w 3 krokach

1. Sprawdź wymiary wewnętrzne. Jeśli się nie zgadzają, iloczyn nie jest określony.
2. Użyj wymiarów zewnętrznych, aby wyznaczyć rozmiar wyniku.
3. Dla każdego elementu pomnóż odpowiadające sobie elementy wiersza i kolumny, a potem dodaj te iloczyny.

Reguła wymiarów

Jeśli

$$A \text{ is } m \times n \quad \text{and} \quad B \text{ is } n \times p,$$

to $AB$ jest określone, a wynik ma wymiar

$$m \times p.$$

Wymiary wewnętrzne muszą się zgadzać. Wymiary zewnętrzne mówią, jaki będzie rozmiar odpowiedzi.

Na przykład macierz $2 \times 3$ można pomnożyć przez macierz $3 \times 4$, a wynik będzie miał wymiar $2 \times 4$. Ale macierzy $2 \times 3$ nie można pomnożyć przez macierz $2 \times 4$ w tej kolejności, ponieważ wymiary wewnętrzne się nie zgadzają.

Co naprawdę znaczy wiersz razy kolumna

Aby wyznaczyć jeden element macierzy $AB$, weź jeden wiersz z $A$ i jedną kolumnę z $B$.

Jeśli wiersz ma postać

$$[a_1 \quad a_2 \quad a_3]$$

a kolumna ma postać

$$\begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix},$$

to odpowiadający im element w iloczynie wynosi

$$a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3.$$

Zatem standardowe mnożenie macierzy nie polega na mnożeniu element po elemencie. To suma iloczynów zbudowana z jednej pary wiersz–kolumna.

Przykład obliczeniowy

Pomnóż

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ -1 & 3 & 4 \end{bmatrix} \quad \text{and} \quad B = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -2 \\ 5 & 3 \end{bmatrix}.$$

Najpierw sprawdź wymiary. $A$ ma wymiar $2 \times 3$, a $B$ ma wymiar $3 \times 2$, więc iloczyn $AB$ jest określony. Odpowiedź będzie macierzą $2 \times 2$.

Teraz oblicz każdy element.

Element w lewym górnym rogu wykorzystuje wiersz 1 macierzy $A$ i kolumnę 1 macierzy $B$:

$$1 \cdot 2 + 2 \cdot 0 + 0 \cdot 5 = 2.$$

Element w prawym górnym rogu wykorzystuje wiersz 1 macierzy $A$ i kolumnę 2 macierzy $B$:

$$1 \cdot 1 + 2 \cdot (-2) + 0 \cdot 3 = -3.$$

Element w lewym dolnym rogu wykorzystuje wiersz 2 macierzy $A$ i kolumnę 1 macierzy $B$:

$$(-1) \cdot 2 + 3 \cdot 0 + 4 \cdot 5 = 18.$$

Element w prawym dolnym rogu wykorzystuje wiersz 2 macierzy $A$ i kolumnę 2 macierzy $B$:

$$(-1) \cdot 1 + 3 \cdot (-2) + 4 \cdot 3 = 5.$$

Zatem

$$AB = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 18 & 5 \end{bmatrix}.$$

Ten jeden przykład pokazuje cały schemat. Każda pozycja w wyniku pochodzi z jednej pary wiersz–kolumna.

Dlaczego kolejność ma znaczenie

W zwykłej arytmetyce $ab = ba$. Dla macierzy na ogół nie jest to prawdą.

Nawet gdy oba iloczyny istnieją, $AB$ i $BA$ mogą być różne. W niektórych przypadkach jeden iloczyn jest określony, a drugi nie. Dlatego kolejność jest częścią zadania, a nie tylko kosmetycznym szczegółem.

Typowe błędy

Pomijanie sprawdzenia wymiarów

Wiele błędów pojawia się jeszcze przed rozpoczęciem obliczeń. Jeśli wymiary wewnętrzne się nie zgadzają, iloczyn nie jest określony.

Bezpośrednie mnożenie elementów na tych samych pozycjach

Jeśli mnożysz razem elementy z lewego górnego rogu, potem kolejną pasującą parę, wykonujesz inne działanie. Standardowe mnożenie macierzy używa sum wiersz razy kolumna.

Mylenie wierszy i kolumn

Każdy element wymaga jednego konkretnego wiersza z pierwszej macierzy i jednej konkretnej kolumny z drugiej. Użycie niewłaściwej kolumny to bardzo częsty błąd rachunkowy.

Zakładanie, że odwrotna kolejność daje ten sam wynik

Nie należy oczekiwać, że $AB = BA$. Mnożenie macierzy na ogół nie jest przemienne.

Kiedy używa się mnożenia macierzy

Mnożenie macierzy stosuje się wtedy, gdy po jednym procesie liniowym następuje drugi. Na kursie wprowadzającym często pojawia się to przy układach równań lub przekształceniach geometrycznych. W zastosowaniach ta sama idea występuje w grafice komputerowej, modelach danych i obliczeniach naukowych.

Przydatna intuicja jest prosta: najpierw działa jedna macierz, a potem kolejna działa na ten wynik. Właśnie dlatego kolejność ma znaczenie.

Spróbuj samodzielnie

Spróbuj obliczyć

$$\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 5 & 2 \end{bmatrix}.$$

Przewidź wymiar wyniku, zanim obliczysz jakiekolwiek elementy. Jeśli chcesz sprawdzić swoje ustawienie po wykonaniu obliczeń ręcznie, wypróbuj własną wersję w GPAI Solver.