การคูณเมทริกซ์ — วิธีคูณเมทริกซ์

การคูณเมทริกซ์จะทำได้ก็ต่อเมื่อจำนวนหลักของเมทริกซ์ตัวแรกเท่ากับจำนวนแถวของเมทริกซ์ตัวที่สอง ถ้าเงื่อนไขนี้เป็นจริง แต่ละสมาชิกในผลคูณจะมาจากหนึ่งแถวของเมทริกซ์ตัวแรกและหนึ่งหลักของเมทริกซ์ตัวที่สอง

นี่คือสองอย่างที่นักเรียนมักต้องเช็กทันที: ผลคูณนิยามได้หรือไม่ และคำตอบจะมีขนาดเท่าไร

วิธีคูณเมทริกซ์ใน 3 ขั้นตอน

1. ตรวจสอบมิติด้านใน ถ้าไม่เท่ากัน ผลคูณจะไม่นิยาม
2. ใช้มิติด้านนอกเพื่อหาขนาดของคำตอบ
3. สำหรับแต่ละสมาชิก ให้นำสมาชิกที่ตรงกันในแถวและหลักมาคูณกัน แล้วบวกผลคูณเหล่านั้น

กฎเรื่องมิติ

ถ้า

$$A \text{ is } m \times n \quad \text{and} \quad B \text{ is } n \times p,$$

แล้ว $AB$ จะนิยามได้ และผลลัพธ์จะมีขนาดเป็น

$$m \times p.$$

มิติด้านในต้องเท่ากัน ส่วนมิติด้านนอกจะบอกขนาดของคำตอบ

ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์ขนาด $2 \times 3$ สามารถคูณกับเมทริกซ์ขนาด $3 \times 4$ ได้ และผลลัพธ์จะเป็น $2 \times 4$ แต่เมทริกซ์ขนาด $2 \times 3$ ไม่สามารถคูณกับเมทริกซ์ขนาด $2 \times 4$ ในลำดับนั้นได้ เพราะมิติด้านในไม่เท่ากัน

แถวคูณหลัก หมายถึงอะไรจริง ๆ

ในการหาสมาชิกหนึ่งตัวของ $AB$ ให้เลือกหนึ่งแถวจาก $A$ และหนึ่งหลักจาก $B$

ถ้าแถวคือ

$$[a_1 \quad a_2 \quad a_3]$$

และหลักคือ

$$\begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix},$$

แล้วสมาชิกที่สอดคล้องกันในผลคูณคือ

$$a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3.$$

ดังนั้น การคูณเมทริกซ์แบบมาตรฐานจึงไม่ใช่การคูณสมาชิกตำแหน่งเดียวกันทีละตัว แต่เป็นผลบวกของผลคูณที่สร้างจากคู่แถว-หลักหนึ่งคู่

ตัวอย่างการคำนวณ

คูณ

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ -1 & 3 & 4 \end{bmatrix} \quad \text{and} \quad B = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -2 \\ 5 & 3 \end{bmatrix}.$$

เริ่มจากตรวจสอบขนาดก่อน $A$ มีขนาด $2 \times 3$ และ $B$ มีขนาด $3 \times 2$ ดังนั้นผลคูณ $AB$ นิยามได้ คำตอบจะเป็นเมทริกซ์ขนาด $2 \times 2$

ตอนนี้คำนวณสมาชิกแต่ละตัว

สมาชิกมุมซ้ายบนใช้แถวที่ 1 ของ $A$ และหลักที่ 1 ของ $B$:

$$1 \cdot 2 + 2 \cdot 0 + 0 \cdot 5 = 2.$$

สมาชิกมุมขวาบนใช้แถวที่ 1 ของ $A$ และหลักที่ 2 ของ $B$:

$$1 \cdot 1 + 2 \cdot (-2) + 0 \cdot 3 = -3.$$

สมาชิกมุมซ้ายล่างใช้แถวที่ 2 ของ $A$ และหลักที่ 1 ของ $B$:

$$(-1) \cdot 2 + 3 \cdot 0 + 4 \cdot 5 = 18.$$

สมาชิกมุมขวาล่างใช้แถวที่ 2 ของ $A$ และหลักที่ 2 ของ $B$:

$$(-1) \cdot 1 + 3 \cdot (-2) + 4 \cdot 3 = 5.$$

ดังนั้น

$$AB = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 18 & 5 \end{bmatrix}.$$

ตัวอย่างเดียวนี้แสดงรูปแบบทั้งหมดได้ครบ แต่ละตำแหน่งในคำตอบมาจากการจับคู่แถว-หลักหนึ่งคู่

ทำไมลำดับจึงสำคัญ

ในการคำนวณเลขทั่วไป เรามี $ab = ba$ แต่สำหรับเมทริกซ์ โดยทั่วไปแล้วไม่เป็นเช่นนั้น

แม้ว่าทั้งสองผลคูณจะนิยามได้ $AB$ และ $BA$ ก็อาจให้ผลลัพธ์ต่างกันได้ และในบางกรณี ผลคูณหนึ่งนิยามได้ แต่อีกผลคูณหนึ่งนิยามไม่ได้ ดังนั้นลำดับจึงเป็นส่วนหนึ่งของโจทย์ ไม่ใช่แค่รายละเอียดเล็กน้อย

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

ข้ามการตรวจสอบมิติ

ข้อผิดพลาดจำนวนมากเกิดขึ้นก่อนเริ่มคำนวณด้วยซ้ำ ถ้ามิติด้านในไม่เท่ากัน ผลคูณจะไม่นิยาม

คูณสมาชิกตำแหน่งเดียวกันโดยตรง

ถ้าคุณคูณสมาชิกมุมซ้ายบนเข้าด้วยกัน แล้วคู่อื่นที่ตำแหน่งตรงกันต่อไป คุณกำลังทำอีกปฏิบัติการหนึ่ง การคูณเมทริกซ์แบบมาตรฐานใช้ผลบวกแบบแถวคูณหลัก

สลับแถวกับหลัก

สมาชิกแต่ละตัวต้องใช้หนึ่งแถวที่เฉพาะเจาะจงจากเมทริกซ์ตัวแรก และหนึ่งหลักที่เฉพาะเจาะจงจากเมทริกซ์ตัวที่สอง การหยิบหลักผิดมาใช้ซ้ำเป็นข้อผิดพลาดด้านการจัดระเบียบที่พบบ่อยมาก

คิดว่าคูณสลับลำดับแล้วได้คำตอบเหมือนกัน

คุณไม่ควรคาดหวังว่า $AB = BA$ การคูณเมทริกซ์โดยทั่วไปไม่เป็นสมบัติการสลับที่

การคูณเมทริกซ์ใช้เมื่อไร

การคูณเมทริกซ์ใช้เมื่อมีกระบวนการเชิงเส้นหนึ่งตามด้วยอีกกระบวนการหนึ่ง ในวิชาเบื้องต้น เรื่องนี้มักปรากฏในระบบสมการหรือการแปลงเชิงเรขาคณิต ในการประยุกต์ใช้ แนวคิดเดียวกันนี้พบได้ในคอมพิวเตอร์กราฟิก แบบจำลองข้อมูล และการคำนวณทางวิทยาศาสตร์

แนวคิดที่ช่วยให้เข้าใจได้ง่ายคือ เมทริกซ์หนึ่งทำงานก่อน แล้วเมทริกซ์ถัดไปจึงทำงานกับผลลัพธ์นั้น นี่จึงเป็นเหตุผลว่าทำไมลำดับจึงสำคัญ

ลองทำด้วยตัวเอง

ลองคูณ

$$\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 5 & 2 \end{bmatrix}.$$

คาดเดาขนาดของคำตอบก่อนที่จะคำนวณสมาชิกใด ๆ ถ้าคุณอยากตรวจสอบวิธีตั้งโจทย์หลังจากทำด้วยมือแล้ว ลองทำเวอร์ชันของคุณเองใน GPAI Solver