행렬 곱셈 — 행렬 곱하는 법

행렬을 곱하려면 첫 번째 행렬의 열 개수와 두 번째 행렬의 행 개수가 같아야 합니다. 이 조건이 맞으면, 곱의 각 원소는 첫 번째 행렬의 한 행과 두 번째 행렬의 한 열로부터 만들어집니다.

이 규칙만 알면 학생들이 가장 먼저 확인해야 하는 두 가지를 바로 판단할 수 있습니다. 곱셈이 정의되는지, 그리고 결과의 크기가 무엇인지입니다.

3단계로 행렬 곱하는 법

1. 안쪽 차원을 확인합니다. 서로 맞지 않으면 곱은 정의되지 않습니다.
2. 바깥쪽 차원으로 결과의 크기를 구합니다.
3. 각 원소마다 대응하는 행과 열의 원소를 곱한 뒤, 그 곱들을 더합니다.

차원 규칙

만약

$$A \text{ is } m \times n \quad \text{and} \quad B \text{ is } n \times p,$$

라면 $AB$는 정의되고, 결과의 크기는

$$m \times p.$$

입니다.

안쪽 차원은 반드시 같아야 합니다. 바깥쪽 차원은 결과의 크기를 알려 줍니다.

예를 들어, $2 \times 3$ 행렬은 $3 \times 4$ 행렬과 곱할 수 있고 결과는 $2 \times 4$가 됩니다. 하지만 $2 \times 3$ 행렬은 그 순서로는 $2 \times 4$ 행렬과 곱할 수 없습니다. 안쪽 차원이 맞지 않기 때문입니다.

행과 열을 곱한다는 뜻

$AB$의 한 원소를 구하려면 $A$에서 한 행을, $B$에서 한 열을 가져옵니다.

행이

$$[a_1 \quad a_2 \quad a_3]$$

이고 열이

$$\begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix},$$

라면 곱의 대응하는 원소는

$$a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3.$$

입니다.

즉, 표준적인 행렬 곱셈은 같은 위치의 원소끼리 단순히 곱하는 것이 아닙니다. 한 행과 한 열의 쌍에서 만들어지는 곱들의 합입니다.

계산 예제

다음을 곱해 봅시다.

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ -1 & 3 & 4 \end{bmatrix} \quad \text{and} \quad B = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -2 \\ 5 & 3 \end{bmatrix}.$$

먼저 크기를 확인합니다. $A$는 $2 \times 3$, $B$는 $3 \times 2$이므로 곱 $AB$는 정의됩니다. 결과는 $2 \times 2$ 행렬이 됩니다.

이제 각 원소를 계산합니다.

왼쪽 위 원소는 $A$의 1행과 $B$의 1열을 사용합니다.

$$1 \cdot 2 + 2 \cdot 0 + 0 \cdot 5 = 2.$$

오른쪽 위 원소는 $A$의 1행과 $B$의 2열을 사용합니다.

$$1 \cdot 1 + 2 \cdot (-2) + 0 \cdot 3 = -3.$$

왼쪽 아래 원소는 $A$의 2행과 $B$의 1열을 사용합니다.

$$(-1) \cdot 2 + 3 \cdot 0 + 4 \cdot 5 = 18.$$

오른쪽 아래 원소는 $A$의 2행과 $B$의 2열을 사용합니다.

$$(-1) \cdot 1 + 3 \cdot (-2) + 4 \cdot 3 = 5.$$

따라서

$$AB = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 18 & 5 \end{bmatrix}.$$

입니다.

이 한 가지 예제만으로도 전체 패턴을 볼 수 있습니다. 결과의 각 위치는 하나의 행-열 짝에서 나옵니다.

왜 순서가 중요한가

보통의 산술에서는 $ab = ba$입니다. 하지만 행렬에서는 일반적으로 그렇지 않습니다.

두 곱이 모두 존재하더라도 $AB$와 $BA$는 서로 다를 수 있습니다. 어떤 경우에는 한쪽은 정의되지만 다른 쪽은 정의되지 않기도 합니다. 따라서 순서는 겉보기만의 문제가 아니라, 문제 자체의 일부입니다.

흔한 실수

차원 확인을 건너뛰기

많은 오류는 계산을 시작하기도 전에 생깁니다. 안쪽 차원이 맞지 않으면 곱은 정의되지 않습니다.

같은 위치의 원소를 바로 곱하기

왼쪽 위 원소끼리 곱하고, 그다음 같은 위치의 원소를 계속 곱하고 있다면 그것은 다른 연산입니다. 표준적인 행렬 곱셈은 행과 열의 합으로 계산합니다.

행과 열을 헷갈리기

각 원소를 구할 때는 첫 번째 행렬의 특정한 한 행과 두 번째 행렬의 특정한 한 열이 필요합니다. 잘못된 열을 다시 사용하는 것은 매우 흔한 계산 실수입니다.

순서를 바꿔도 같은 답이라고 생각하기

$AB = BA$라고 기대하면 안 됩니다. 행렬 곱셈은 일반적으로 교환법칙이 성립하지 않습니다.

행렬 곱셈은 언제 쓰이나

행렬 곱셈은 하나의 선형 과정 뒤에 또 다른 선형 과정이 이어질 때 사용됩니다. 기초 과정에서는 연립방정식이나 기하 변환에서 자주 등장합니다. 응용에서는 컴퓨터 그래픽스, 데이터 모델, 과학 계산에서도 같은 아이디어가 나타납니다.

직관은 간단합니다. 하나의 행렬이 먼저 작용하고, 다음 행렬이 그 결과에 다시 작용합니다. 그래서 순서가 중요합니다.

직접 해보기

다음을 직접 곱해 보세요.

$$\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 5 & 2 \end{bmatrix}.$$

각 원소를 계산하기 전에 먼저 결과의 크기를 예상해 보세요. 손으로 계산한 뒤 설정이 맞는지 확인하고 싶다면, GPAI Solver에서 직접 입력해 보세요.