Πώς να λύσετε διαφορικές εξισώσεις

Για να λύσετε μια διαφορική εξισώαση, το πρώτο πράγμα που πρέπει να κάνετε είναι να αναγνωρίσετε τον τύπο της. Μια διαφορική εξισώαση είναι μια εξίσωση που περιλαμβάνει μια συνάρτηση $y$ και την παράγωγό της $\frac{dy}{dx}$, και η απάντηση δεν είναι ένας αριθμός, αλλά μια συνάρτηση. Αν πρόκειται για τον τύπο του «χωρισμού μεταβλητών», που είναι συνήθως ο πρώτος που μαθαίνουμε, η λύση έρχεται διαχωρίζοντας τα $x$ και τα $y$ και ολοκληρώνοντας στη συνέχεια.

Σε αυτή τη σελίδα, θα δούμε σύντομα τι είναι οι διαφορικές εξισώσεις και στη συνέχεια θα αναλύσουμε τη μέθοδο χωρισμού μεταβλητών μέσα από μια άσκηση. Επίσης, θα προτρέξουμε σε κάποια συνηθισμένη λάθη που κάνουν οι αρχάριοι.

Τι είναι οι διαφορικές εξισώσεις;

Για παράδειγμα,

$\frac{dy}{dx} = 2x$

ή

$\frac{dy}{dx} = 2xy$

είναι εκφράσεις που περιλαμβάνουν μια άγνωστη συνάρτηση $y$ και την παράγωγό της $\frac{dy}{dx}$, επομένως ονομάζονται διαφορικές εξισώσεις.

Εδώ, αυτό που αναζητούμε δεν είναι ένας αριθμός, αλλά η συνάρτηση $y$ που ικανοποιεί τη συνθήκη. Για παράδειγμα, η

$y = x^2 + C$

είναι μια λύση που ικανοποιεί το $\frac{dy}{dx} = 2x$. Αν έχουμε αρχικές συνθήκες, τότε το $C$ καθορίζεται και καταλήγουμε σε μία συγκεκριμένη λύση.

Το πρώτο βήμα: Αναγνώριση του τύπου

Οι διαφορικές εξισώσεις δεν λύνονται πάντα με τα ίδια βήματα. Το πρώτο πράγμα που πρέπει να ελέγξετε είναι σε ποιον τύπο ανήκει η εξίσωση. Αν παραλείψετε αυτό το βήμα, μπορεί να προσπαθήσετε να εφαρμόσετε μια μέθοδο που δεν ταιριάζει και να κολλήσετε στους υπολογισμούς.

Σε αυτή τη σελίδα θα δούμε τον τύπο του χωρισμού μεταβλητών. Αυτός είναι ένας τύπος όπου, όπως στο

$\frac{dy}{dx} = g(x)h(y)$

είναι εύκολο να διαχωρίσουμε τα τμήματα που αφορούν το $x$ από αυτά που αφορούν το $y$. Αν αυτό είναι εφικτό, φέρνουμε την εξίσωση στη μορφή

$\frac{1}{h(y)}\,dy = g(x)\,dx$

και ολοκληρώνουμε και τα δύο μέλη.

Ωστόσο, αν διαιρέσουμε με το $h(y)$, πρέπει να ελέγξουμε ξεχωριστά την περίπτωση όπου αυτό είναι ίσο με $h(y)=0$. Αν το παραλείψετε, μπορεί να χάσετε κάποιες σταθερές λύσεις.

5 βήματα για τη λύση με χωρισμό μεταβλητών

Στον χωρισμό μεταβλητών, η διαδικασία είναι πολύ ξεκάθαρη:

1. Επιβεβαιώστε αν η εξίσωση είναι της μορφής $\frac{dy}{dx} = g(x)h(y)$.
2. Διαχωρίστε τα τμήματα που περιέχουν το $y$ από αυτά που περιέχουν το $x$.
3. Ολοκληρώστε και τα δύο μέλη.
4. Αν χρειάζεται, απλοποιήστε τους εκθέτες ή τους λογαρίθμους για να εκφράσετε το $y$.
5. Αν υπάρχουν αρχικές συνθήκες, προσδιορίστε τη σταθερά ολοκλήρωσης.

Είναι πιο σημαντικό να εστιάσετε στο «πού διαιρέσατε» και «υπό ποιες συνθήκες είναι σωστή αυτή η μετατροπή», παρά στην ταχύτητα των υπολογισμών.

Παράδειγμα: $\frac{dy}{dx} = 2xy,\ y(0)=3$

Ας εξετάσουμε το εξής πρόβλημα αρχικής τιμής:

$\frac{dy}{dx} = 2xy,\quad y(0)=3$

Επειδή το δεξί μέλος είναι $2x \cdot y$, πρόκειται για χωρισμό μεταβλητών. Εφόσον η αρχική τιμή είναι $y(0)=3$, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι τουλάχιστον κοντά στο $x=0$ το $y \ne 0$ είναι έγκυρο. Σε αυτό το εύρος, διαιρώντας με το $y$, έχουμε:

$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = 2x$

Έτσι, διαχωρίζοντας τις μεταβλητές, γράφουμε:

$\frac{1}{y}\,dy = 2x\,dx$

Ολοκληρώνοντας και τα δύο μέλη:

$\int \frac{1}{y}\,dy = \int 2x\,dx$

$\ln|y| = x^2 + C$

Μετατρέποντας αυτό σε εκθετική συνάρτηση:

$|y| = e^\{x^2 + C\} = Ae^\{x^2\}$

Απορροφώντας το πρόσημο της σταθεράς, μπορούμε να γράψουμε:

$y = Ce^{x^2}$

Χρησιμοποιώντας τώρα την αρχική συνθήκη $y(0)=3$, έχουμε:

$3 = Ce^0 = C$

Άρα:

$y = 3e^{x^2}$

Σε αυτό το παράδειγμα, το σημαντικό δεν είναι τόσο η ίδια η πράξη, όσο το αν «μπορούμε να διαχωρίσουμε» και «ποιες είναι οι συνθήκες ώστε να επιτρέπεται η διαίρεση με το $y$». Επιπλέον, σε αυτή την εξίσωση το $y=0$ είναι επίσης λύση, αλλά δεν ταιριάζει με την αρχική συνθήκη $y(0)=3$.

Συνηθισμένα λάθη

1. Χρήση της ίδιας διαδικασίας σε εξισώσεις που δεν είναι του τύπου χωρισμού μεταβλητών.
2. Παράλειψη της σταθεράς ολοκλήρωσης $C$ μετά την ολοκλήρωση των δύο μελών.
3. Απροσεκτική διαχείριση των απόλυτων τιμών ή της απορρόφησης σταθερών κατά τη μετατροπή από $\ln|y|$ σε $y$.
4. Μη έλεγχος της πιθανότητας το $y$ ή το $h(y)$ να είναι ίσο με $0$ μετά τη διαίρεση.
5. Σταμάτημα στη γενική λύση χωρίς τη χρήση των αρχικών συνθηκών μέχρι το τέλος.

Ειδικά το τέταρτο λάθος μπορεί να οδηγήσει σε απώλεια λύσεων, ακόμα και αν οι υπολογισμοί φαίνονται σωστοί. Είναι ασφαλέστερο, μετά από κάθε διαίρεση, να ελέγχετε αν υπάρχει κάποια άλλη λύση για την περίπτωση που η ποσότητα αυτή είναι $0$.

Πού χρησιμοποιούνται οι διαφορικές εξισώσεις;

Οι διαφορικές εξισώσεις εμφανίζονται όταν γνωρίζουμε τον νόμο της μεταβολής και θέλουμε να βρούμε την αρχική συνάρτηση από αυτή τη μεταβολή. Η βασική ιδέα είναι η ίδια όχι μόνο στα μαθηματικά, αλλά και σε προβλήματα εύρεσης θέσης από την ταχύτητα, σε μοντέλα αύξησης/μείωσης, ή σε προβλήματα παρακολούθησης ρεύματος ή συγκέντρωσης.

Ωστόσο, δεν λύνονται όλες οι διαφορικές εξισώσεις με χωρισμό μεταβλητών. Ανάλογα με τον τύπο —όπως στις γραμμικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης, στις ομογενείς ή στις διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης— αλλάζουν και τα εργαλεία. Γι' αυτό, το πρώτο βήμα είναι πάντα να αναγνωρίσετε τον «τύπο» πριν ξεκινήσετε τους υπολογισμούς.

Μια άσκηση για να δοκιμάσετε

Δοκιμάστε να λύσετε το εξής πρόβλημα ακολουθώντας την ίδια διαδικασία:

$\frac{dy}{dx} = 3xy,\quad y(0)=2$

Διαχωρίστε το $y$ αριστερά και το $x$ δεξιά, ολοκληρώστε και στο τέλος χρησιμοποιήστε την αρχική συνθήκη για να βρείτε τη σταθερά.

Όταν λύνετε παρόμοια προβλήματα, φροντίστε να ελέγχετε «πού διαιρέσατε» και «αν χάθηκε κάποια λύση». Η πραγματική κατανόηση της επίλυσης διαφορικών εξισώσεων έρχεται μέσα από αυτούς τους ελέγχους.