Σχετικοί ρυθμοί μεταβολής

Στον λογισμό, οι σχετικοί ρυθμοί μεταβολής σημαίνουν ότι βρίσκουμε πόσο γρήγορα αλλάζει ένα μέγεθος χρησιμοποιώντας τη σχέση του με ένα άλλο μέγεθος του οποίου ο ρυθμός μεταβολής είναι ήδη γνωστός. Η βασική ιδέα είναι απλή: γράφεις την εξίσωση που συνδέει τις μεταβλητές, παραγώγιζεις ως προς τον χρόνο και μετά υπολογίζεις στη συγκεκριμένη χρονική στιγμή του προβλήματος.

Αν το $y$ εξαρτάται από το $x$ και το $x$ εξαρτάται από το $t$, τότε, υποθέτοντας ότι αυτές οι συναρτήσεις είναι παραγωγίσιμες,

$$\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}$$

Αυτός ο κανόνας αλυσίδας είναι ο μηχανισμός πίσω από τους σχετικούς ρυθμούς μεταβολής. Η διαφορά είναι ότι το πρόβλημα συνήθως ξεκινά από μια γεωμετρική ή φυσική κατάσταση, όχι από μια έτοιμη συνάρτηση.

Τι σημαίνουν οι σχετικοί ρυθμοί μεταβολής

Οι ρυθμοί μεταβολής είναι σχετικοί επειδή οι μεταβλητές είναι συνδεδεμένες. Αν αλλάζει η ακτίνα ενός κύκλου, αλλάζει και το εμβαδόν του. Αν αλλάζει το μήκος της ακμής ενός κύβου, αλλάζει και ο όγκος του. Η εξίσωση που συνδέει τα μεγέθη δείχνει πώς ένας ρυθμός μεταβολής επηρεάζει τον άλλον την ίδια στιγμή.

Το βασικό μοτίβο είναι:

1. Ορίζεις τις μεταβλητές.
2. Γράφεις την εξίσωση που τις συνδέει.
3. Παραγώγιζεις ως προς τον χρόνο $t$.
4. Αντικαθιστάς τις τιμές για τη στιγμή που σε ενδιαφέρει.
5. Λύνεις ως προς τον άγνωστο ρυθμό μεταβολής.

Γιατί παραγώγιζεις πριν βάλεις αριθμούς

Σε ένα πρόβλημα σχετικών ρυθμών μεταβολής, οι μεταβλητές είναι μεταβαλλόμενες συναρτήσεις του χρόνου ακόμη κι όταν η εξίσωση δεν δείχνει ρητά το $t$. Γι’ αυτό

$$\frac{d}{dt}(r^2) = 2r\frac{dr}{dt},$$

και όχι απλώς $2r$.

Αν αντικαταστήσεις έναν αριθμό πολύ νωρίς, μπορεί να εξαφανίσεις μια μεταβαλλόμενη μεταβλητή πριν εμφανιστεί η παράγωγός της. Σε απλές περιπτώσεις μπορεί πάλι να βγεις σωστός από τύχη, αλλά η μέθοδος δεν είναι αξιόπιστη.

Λυμένο παράδειγμα: εμβαδόν ενός κύκλου που μεγαλώνει

Έστω ότι η ακτίνα ενός κύκλου αυξάνεται με ρυθμό

$$\frac{dr}{dt} = 3 \text{ cm/s}.$$

Με ποιον ρυθμό αυξάνεται το εμβαδόν όταν $r = 5$ cm;

Ξεκινάμε από τον τύπο του εμβαδού:

$$A = \pi r^2$$

Παραγωγίζουμε και τις δύο πλευρές ως προς τον χρόνο:

$$\frac{dA}{dt} = \pi \frac{d}{dt}(r^2)$$ $$\frac{dA}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt}$$

Τώρα αντικαθιστούμε τη συγκεκριμένη στιγμή, $r = 5$ και $\frac{dr}{dt} = 3$:

$$\frac{dA}{dt} = 2\pi(5)(3) = 30\pi$$

Άρα το εμβαδόν αυξάνεται με ρυθμό

$$30\pi \text{ cm}^2/\text{s}.$$

Οι μονάδες έχουν σημασία. Η ακτίνα μετριέται σε εκατοστά, άρα το εμβαδόν μεταβάλλεται σε τετραγωνικά εκατοστά ανά δευτερόλεπτο.

Γιατί λειτουργεί το παράδειγμα

Ο αρχικός τύπος συνέδεε το $A$ και το $r$, όχι το $A$ και το $t$. Ο χρόνος μπήκε μόνο όταν παραγώγισαμε. Αυτή είναι η ουσία των σχετικών ρυθμών μεταβολής: αντιμετωπίζεις κάθε μεταβαλλόμενο μέγεθος ως συνάρτηση του χρόνου, ακόμη κι αν η αρχική εξίσωση φαίνεται καθαρά γεωμετρική.

Γι’ αυτό επίσης οι σχετικοί ρυθμοί μεταβολής χρησιμοποιούν συχνά την πεπλεγμένη παραγώγιση. Παραγωγίζεις μια εξίσωση με πολλές συνδεδεμένες μεταβλητές, και κάθε μεταβαλλόμενη μεταβλητή μπορεί να δώσει τον δικό της όρο ρυθμού μεταβολής.

Συνηθισμένα λάθη στους σχετικούς ρυθμούς μεταβολής

1. Βάζεις τιμές πριν από την παραγώγιση.
2. Ξεχνάς ότι μια μεταβλητή όπως το $r$ ή το $y$ εξαρτάται από τον χρόνο.
3. Χρησιμοποιείς τη λάθος στιγμή. Το πρόβλημα ζητά μία συγκεκριμένη χρονική στιγμή, όχι μια γενική μέση μεταβολή.
4. Αγνοείς τις μονάδες ή τα πρόσημα. Ένα μέγεθος που μικραίνει συνήθως πρέπει να δίνει αρνητικό ρυθμό μεταβολής.
5. Γράφεις έναν τύπο που δεν ταιριάζει με τη γεωμετρία ή τη φυσική διάταξη.

Πότε να χρησιμοποιείς προβλήματα σχετικών ρυθμών μεταβολής

Οι σχετικοί ρυθμοί μεταβολής εμφανίζονται κάθε φορά που δύο μεταβαλλόμενα μεγέθη παραμένουν συνδεδεμένα από έναν κανόνα.

Συνηθισμένες περιπτώσεις είναι:

1. Η γεωμετρία, όπως κύκλοι, σφαίρες, κώνοι και σκάλες.
2. Η φυσική, όπου η θέση, η ταχύτητα και άλλα μεγέθη μεταβάλλονται μαζί.
3. Προβλήματα μηχανικής ή χημείας όπου ένα μετρούμενο μέγεθος εξαρτάται από κάποιο άλλο που αλλάζει με τον χρόνο.

Η μέθοδος λειτουργεί μόνο όσο η σχέση που έγραψες ισχύει για την κατάσταση. Αν αλλάξει το μοντέλο, μπορεί να αλλάξει και η εξίσωση του ρυθμού μεταβολής.

Μια γρήγορη λίστα ελέγχου για σχετικούς ρυθμούς μεταβολής

Κάνε στον εαυτό σου τρεις ερωτήσεις:

1. Έγραψα τη σχέση πριν από την παραγώγιση;
2. Έδωσε κάθε μεταβαλλόμενη μεταβλητή έναν όρο ρυθμού μεταβολής όταν παραγώγισα ως προς $t$;
3. Βγάζουν νόημα οι τελικές μονάδες;

Αυτός ο σύντομος έλεγχος εντοπίζει μεγάλο μέρος από τα λάθη στους σχετικούς ρυθμούς μεταβολής.

Δοκίμασε τη δική σου εκδοχή

Πάρε το ίδιο παράδειγμα με τον κύκλο, αλλά άλλαξε τον ρυθμό σε $\frac{dr}{dt} = 1.5$ cm/s και υπολόγισέ το όταν $r = 8$ cm. Μετά, δοκίμασε μια εκδοχή με τον όγκο σφαίρας και πρόσεξε πώς η αλλαγή από $r^2$ σε $r^3$ αλλάζει τον τελικό τύπο του ρυθμού μεταβολής. Αν θέλεις ένα επόμενο βήμα, δοκίμασε τη δική σου εκδοχή σε έναν επιλύτη μόνο αφού έχεις γράψει τη σχέση και έχεις κάνει μόνος σου την παραγώγιση.