Αφαίρεση κλασμάτων — βήμα βήμα με παραδείγματα

Για να αφαιρέσεις κλάσματα, κάνε πρώτα τους παρονομαστές ίδιους και μετά αφαίρεσε τους αριθμητές. Αν οι παρονομαστές είναι ήδη ίδιοι, μπορείς να κάνεις την αφαίρεση αμέσως και να κρατήσεις τον παρονομαστή.

Αυτός ο κανόνας ισχύει επειδή τα κλάσματα μπορούν να συνδυαστούν άμεσα μόνο όταν εκφράζονται σε μέρη ίδιου μεγέθους. Τα περισσότερα λάθη προκύπτουν όταν αυτό το βήμα παραλείπεται.

Αφαίρεση κλασμάτων με τον ίδιο παρονομαστή

Αν δύο κλάσματα έχουν τον ίδιο παρονομαστή,

$$\frac{a}{b} - \frac{c}{b} = \frac{a-c}{b}$$

αρκεί να ισχύει $b \ne 0$. Και τα δύο κλάσματα αποτελούνται από μέρη μεγέθους $\frac{1}{b}$, οπότε αφαιρείς πόσα από αυτά τα μέρη απομένουν.

Για παράδειγμα,

$$\frac{9}{11} - \frac{4}{11} = \frac{5}{11}.$$

Δεν αλλάζει τίποτα στον παρονομαστή, επειδή η μονάδα δεν έχει αλλάξει. Εξακολουθείς να δουλεύεις με ενδέκατα.

Διαφορετικοί παρονομαστές: πρώτα ξαναγράφουμε

Αν οι παρονομαστές είναι διαφορετικοί, όπως στο

$$\frac{a}{b} - \frac{c}{d},$$

δεν πρέπει ακόμη να αφαιρέσεις τους αριθμητές. Τα κλάσματα είναι γραμμένα σε μέρη διαφορετικού μεγέθους.

Τα $\frac{3}{4}$ και $\frac{1}{2}$ δείχνουν το γιατί. Τα τέταρτα και τα μισά δεν είναι η ίδια μονάδα, άρα το $\frac{3}{4} - \frac{1}{2}$ δεν είναι έγκυρη αφαίρεση μόνο των αριθμητών.

Ξαναγράψε πρώτα το $\frac{1}{2}$ ως $\frac{2}{4}$. Τότε και τα δύο κλάσματα είναι σε τέταρτα:

$$\frac{3}{4} - \frac{2}{4} = \frac{1}{4}.$$

Η τιμή δεν άλλαξε. Άλλαξε μόνο η μορφή, ώστε η αφαίρεση να γίνει έγκυρη.

Λυμένο παράδειγμα: $\frac{5}{6} - \frac{1}{4}$

Λύσε το

$$\frac{5}{6} - \frac{1}{4}.$$

Βήμα 1: Βρες κοινό παρονομαστή

Οι παρονομαστές είναι $6$ και $4$, οπότε ξεκίνα βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή. Ο ελάχιστος κοινός παρονομαστής είναι το $12$.

Βήμα 2: Ξαναγράψε και τα δύο κλάσματα

$$\frac{5}{6} = \frac{10}{12} \quad \text{and} \quad \frac{1}{4} = \frac{3}{12}$$

Βήμα 3: Αφαίρεσε τους αριθμητές

$$\frac{10}{12} - \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$$

Βήμα 4: Απλοποίησε αν γίνεται

Το $7$ και το $12$ δεν έχουν κοινό παράγοντα μεγαλύτερο από το $1$, άρα η τελική απάντηση είναι

$$\frac{7}{12}.$$

Αυτό είναι το πλήρες μοτίβο για την αφαίρεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές: ξαναγράφεις, αφαιρείς και μετά απλοποιείς.

Συνηθισμένα λάθη στην αφαίρεση κλασμάτων

1. Αφαιρούνται και οι παρονομαστές. Γενικά, $\frac{a}{b} - \frac{c}{d} \ne \frac{a-c}{b-d}$.
2. Το ένα κλάσμα ξαναγράφεται λανθασμένα αφού επιλεγεί κοινός παρονομαστής.
3. Ξεχνιέται η απλοποίηση του τελικού κλάσματος όταν υπάρχει ακόμη κοινός παράγοντας.
4. Χάνεται το πρόσημο όταν το δεύτερο κλάσμα είναι μεγαλύτερο. Για παράδειγμα, το $\frac{1}{3} - \frac{3}{4}$ πρέπει να είναι αρνητικό.

Πού χρησιμοποιείται η αφαίρεση κλασμάτων

Η αφαίρεση κλασμάτων εμφανίζεται στις μετρήσεις, στη μαγειρική, στα χρονικά διαστήματα, στις πιθανότητες και στην άλγεβρα. Κάθε φορά που αφαιρείς ένα μέρος ενός όλου από ένα άλλο μέρος ενός όλου, μπορεί να εμφανιστεί αφαίρεση κλασμάτων.

Υποστηρίζει επίσης μεταγενέστερα θέματα, όπως οι ρητές παραστάσεις και η επίλυση εξισώσεων, όπου έχει σημασία να παρακολουθείς τους κοινούς παρονομαστές.

Δοκίμασε ένα παρόμοιο πρόβλημα

Δοκίμασε το

$$\frac{7}{8} - \frac{1}{3}.$$

Βρες τον κοινό παρονομαστή πριν κάνεις οποιαδήποτε αφαίρεση. Αν το στήσιμό σου είναι σωστό, και τα δύο κλάσματα πρέπει να ξαναγραφούν σε εικοστά τέταρτα πριν από την τελική αφαίρεση.