Exponentialfunktionen — Wachstum, Zerfall & Graphen

Exponentialfunktionen modellieren wiederholte Multiplikation. In der Standardform $f(x) = a b^x$ steht die Variable im Exponenten, $a$ ist der Anfangswert und $b$ ist der konstante Faktor, der jedes Mal angewendet wird, wenn sich $x$ um $1$ erhöht.

Wenn $b > 1$ ist, zeigt die Funktion Wachstum. Wenn $0 < b < 1$ ist, zeigt sie Zerfall. Das ist die wichtigste Grundidee, die die meisten Schülerinnen und Schüler zuerst brauchen.

$$f(x) = a b^x$$

Für reellwertige Exponentialfunktionen gelten üblicherweise die Bedingungen $b > 0$ und $b \ne 1$.

Definition der Exponentialfunktion

Der wichtigste Test ist einfach: Die Eingabevariable, meist $x$, muss im Exponenten stehen. Genau das macht die Beziehung multiplikativ statt additiv.

Also ist $f(x) = 3 \cdot 2^x$ exponentiell, aber $f(x) = 3x^2$ nicht. In $3x^2$ ist die Variable die Basis, nicht der Exponent.

Dadurch ändert sich das Muster vollständig. Polynomfunktionen wachsen nach Potenzen von $x$. Exponentialfunktionen wachsen oder schrumpfen bei jeder Erhöhung von $x$ um $1$ um denselben Faktor.

Wachstum vs. Zerfall bei Exponentialfunktionen

In

$$f(x) = a b^x$$

steuert die Basis $b$ das Verhalten:

• Wenn $b > 1$ ist, wird der Funktionswert bei jedem Schritt nach rechts mit einer Zahl größer als $1$ multipliziert, also wächst der Graph.
• Wenn $0 < b < 1$ ist, wird der Funktionswert bei jedem Schritt nach rechts mit einem Bruch multipliziert, also fällt der Graph.

Zum Beispiel wächst $2^x$, weil jeder Schritt mit $2$ multipliziert. Aber $\left(\frac{1}{2}\right)^x$ zeigt Zerfall, weil jeder Schritt mit $\frac{1}{2}$ multipliziert.

Wie sich der Graph einer Exponentialfunktion verhält

Der Graph einer einfachen Exponentialfunktion ist glatt und besteht nicht aus getrennten Punkten. Einige Eigenschaften sollte man früh erkennen:

1. Er schneidet die Linie $x = 0$ bei $f(0) = a$, denn $b^0 = 1$.
2. In der Grundform mit $a > 0$ bleibt der Graph oberhalb der $x$-Achse.
3. Die Linie $y = 0$ ist eine waagerechte Asymptote, also nähert sich der Graph der $x$-Achse immer weiter an, ohne sie zu berühren.
4. Wachstumsgraphen steigen nach rechts. Zerfallsgraphen fallen nach rechts.

Mit diesen Eigenschaften kannst du einen Graphen schnell lesen, bevor du viele Punkte berechnest.

Durchgerechnetes Beispiel: den Graphen von $f(x) = 3 \cdot 2^x$ zeichnen

Dieses Beispiel zeigt die zwei wichtigsten Ideen gleichzeitig: den Anfangswert und den Wachstumsfaktor.

$$f(x) = 3 \cdot 2^x$$

Beginne damit, einige Werte zu berechnen:

$$\begin{array}{c|ccccc} x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline f(x) & \frac{3}{4} & \frac{3}{2} & 3 & 6 & 12 \end{array}$$

Jetzt lässt sich der Graph leichter lesen:

• Der y-Achsenabschnitt ist $(0, 3)$, also ist der Anfangswert $3$.
• Jeder Schritt nach rechts verdoppelt den Funktionswert, weil die Basis $2$ ist.
• Der Graph steigt immer schneller an, nähert sich aber ganz links trotzdem $y = 0$ an.

Wenn du die Basis von $2$ auf $\frac{1}{2}$ änderst, wird aus derselben Form exponentieller Zerfall statt Wachstum.

Häufige Fehler

Exponentialfunktionen und Polynomfunktionen verwechseln

$x^3$ ist nicht exponentiell. Die Variable ist die Basis. In $3^x$ ist die Variable der Exponent, also ist das eine Exponentialfunktion.

Vergessen, dass die Basis Wachstum oder Zerfall festlegt

In der Standardform $a b^x$ mit $a > 0$ bedeutet Wachstum $b > 1$ und Zerfall bedeutet $0 < b < 1$. Die Bezeichnung hängt von der Basis ab, nicht von einem vagen Eindruck, dass der Graph „irgendwann nach oben geht“.

Den Anfangswert vergessen

In $f(x) = a b^x$ ist der Wert bei $x = 0$ gleich $a$. Das ist die Anfangsmenge.

Faktor und prozentuale Änderung verwechseln

Wenn eine Größe in jedem Schritt um $20\%$ wächst, ist der Multiplikator $1.2$ und nicht $0.2$. Wenn sie in jedem Schritt um $20\%$ abnimmt, ist der Multiplikator $0.8$.

Wann Exponentialfunktionen verwendet werden

Exponentialfunktionen werden verwendet, wenn sich etwas über gleiche Intervalle mit einem konstanten Faktor verändert. Häufige Beispiele sind:

• Zinseszins
• Bevölkerungswachstum bei fester Wachstumsrate
• radioaktiver Zerfall
• Abkühlungsmodelle und andere Zerfallsprozesse

Wenn die Veränderung additiv statt multiplikativ ist, ist ein Exponentialmodell meist nicht das richtige.

Probiere selbst ein ähnliches Beispiel

Probiere deine eigene Version mit $f(x) = 5(0.7)^x$. Berechne $f(0)$, $f(1)$ und $f(2)$, skizziere dann den Graphen und prüfe, ob die Funktionswerte bei jedem Schritt um denselben Faktor schrumpfen. Diese eine Änderung von der Basis $2$ zur Basis $0.7$ reicht aus, um den Unterschied zwischen Wachstum und Zerfall klar zu sehen.