Binomialverteilung — Formel, Bedingungen & Beispiel

Eine Binomialverteilung gibt dir die Wahrscheinlichkeit dafür, in $n$ Versuchen genau $k$ Erfolge zu erhalten. Verwende sie nur dann, wenn jeder Versuch für das betrachtete Ereignis zwei mögliche Ausgänge hat, die Versuche unabhängig sind und die Erfolgswahrscheinlichkeit jedes Mal gleich bleibt.

Wenn eine dieser Bedingungen nicht erfüllt ist, kann die Rechnung zwar noch richtig aussehen, aber das Modell selbst ist falsch.

Was die Binomialverteilung bedeutet

Angenommen, du wiederholst dieselbe Art von Versuch $n$-mal. Bei jedem Versuch bezeichnest du ein Ergebnis als Erfolg und das andere als Misserfolg.

Wenn die Erfolgswahrscheinlichkeit in jedem Versuch $p$ ist, dann kann die Zufallsvariable $X$, also die Anzahl der Erfolge, einer Binomialverteilung folgen.

Du siehst das oft in der Schreibweise

$$X \sim \text{Bin}(n,p)$$

Diese Schreibweise bedeutet:

• $n$ ist die Anzahl der Versuche
• $p$ ist die Erfolgswahrscheinlichkeit bei jedem Versuch
• $X$ zählt, wie viele Erfolge auftreten

Das ist ein Zählmodell. Es fragt nicht, welcher Versuch erfolgreich war. Es fragt, wie viele Erfolge insgesamt aufgetreten sind.

Formel der Binomialverteilung

Für genau $k$ Erfolge gilt die Wahrscheinlichkeit

$$P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$$

Jeder Teil hat eine Aufgabe:

• $\binom{n}{k}$ zählt, auf wie viele Arten die $k$ Erfolge auf $n$ Versuche verteilt werden können
• $p^k$ gibt die Wahrscheinlichkeit dieser $k$ Erfolge an
• $(1-p)^{n-k}$ gibt die Wahrscheinlichkeit der übrigen Misserfolge an

Die Formel gilt für $k=0,1,2,\dots,n$.

Wann man die Binomialformel verwenden kann

Verwende ein Binomialmodell nur dann, wenn alle diese Bedingungen erfüllt sind:

Feste Anzahl von Versuchen

Du weißt im Voraus, wie viele Versuche es gibt. Zum Beispiel erfüllt das Werfen einer Münze $8$-mal diese Bedingung.

Zwei Ergebnisse pro Versuch

Für das Ereignis, das du betrachtest, muss jeder Versuch als Erfolg oder Misserfolg eingestuft werden können. Auch ein Würfelwurf kann passen, wenn du Erfolg zum Beispiel als „eine $6$ würfeln“ definierst.

Unabhängige Versuche

Ein Versuch sollte die Wahrscheinlichkeit beim nächsten nicht verändern. Ziehen mit Zurücklegen kann diese Bedingung erfüllen. Ziehen ohne Zurücklegen aus einer kleinen Menge tut das meistens nicht.

Konstante Erfolgswahrscheinlichkeit

Der Wert von $p$ muss von Versuch zu Versuch gleich bleiben. Wenn sich die Wahrscheinlichkeit jedes Mal ändert, ist ein einfaches Binomialmodell nicht geeignet.

Beispielrechnung: genau 3-mal Kopf in 5 Würfen

Angenommen, eine gezinkte Münze zeigt mit Wahrscheinlichkeit $0.6$ Kopf. Du wirfst sie $5$-mal. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau $3$-mal Kopf zu erhalten?

Sei Kopf das Erfolgsereignis. Dann gilt

$$n=5,\quad p=0.6,\quad k=3$$

Verwende die Formel:

$$P(X=3)=\binom{5}{3}(0.6)^3(0.4)^2$$

Berechne nun jeden Teil:

$$\binom{5}{3}=10,\quad (0.6)^3=0.216,\quad (0.4)^2=0.16$$

Also

$$P(X=3)=10(0.216)(0.16)=0.3456$$

Die Wahrscheinlichkeit, genau $3$-mal Kopf zu erhalten, ist $0.3456$ oder $34.56\%$.

Warum ist das Binomialmodell hier gültig? Das Experiment hat ein festes $n$, zwei Ergebnisse pro Wurf, unabhängige Versuche und dieselbe Wahrscheinlichkeit $p=0.6$ bei jedem Wurf.

Eine schnelle Abkürzung für „mindestens eins“

Bei Fragen wie „mindestens ein Erfolg“ ist das Gegenereignis oft schneller als das Addieren vieler Terme.

Wenn zum Beispiel $X \sim \text{Bin}(5,0.6)$ gilt, dann ist

$$P(X \ge 1)=1-P(X=0)=1-(0.4)^5$$

Das funktioniert, weil „mindestens ein Erfolg“ das Gegenereignis zu „kein Erfolg“ ist.

Häufige Fehler bei Aufgaben zur Binomialverteilung

Die Bedingungen ignorieren

Ein häufiger Fehler ist, die Binomialformel zu verwenden, obwohl die Versuche nicht unabhängig sind. Ein klassisches Beispiel ist das Ziehen ohne Zurücklegen aus einer kleinen Menge, während man trotzdem so tut, als würde sich $p$ nie ändern.

Falsch verstehen, was „Erfolg“ bedeutet

In einer Binomialaufgabe muss Erfolg nicht etwas Gutes bedeuten. Es ist einfach das Ergebnis, das du zählen möchtest.

„Genau“, „mindestens“ und „höchstens“ verwechseln

Diese Formulierungen führen selbst im selben Experiment zu unterschiedlichen Rechnungen. „Genau $3$“ bedeutet einen Term, „mindestens $3$“ bedeutet mehrere Terme und „höchstens $3$“ bedeutet eine andere Summe.

Wann die Binomialverteilung verwendet wird

Die Binomialverteilung tritt auf, wenn du wiederholte Ja-Nein-Ergebnisse zählst, zum Beispiel defekt oder nicht defekt, bestanden oder nicht bestanden, Klick oder kein Klick oder Kopf oder Zahl.

Sie ist nützlich in der Qualitätskontrolle, bei Stichproben aus Umfragen unter den richtigen Annahmen, bei Zuverlässigkeitsfragen und in grundlegenden Wahrscheinlichkeitsmodellen der Statistik.

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Probiere deine eigene Variante mit $8$ Münzwürfen, bei denen $p=0.4$ ist. Berechne zuerst $P(X=2)$ und dann $P(X \ge 1)$ mithilfe des Gegenereignisses. Wenn du noch einen weiteren Fall möchtest, vergleiche, was sich ändert, wenn die Versuche nicht mehr unabhängig sind.