ggT und kgV — Methoden, Tricks & Beispiele

Der ggT ist die größte ganze Zahl, die zwei oder mehr Zahlen ohne Rest teilt. Das kgV ist die kleinste ganze Zahl, die durch alle diese Zahlen teilbar ist.

Für $12$ und $18$ ist der ggT $6$ und das kgV $36$. Den ggT nutzt du, wenn du die größte gleich große Einteilung suchst oder einen Bruch kürzen willst. Das kgV nutzt du, wenn du einen gemeinsamen Nenner brauchst oder wissen willst, wann sich wiederholende Zyklen zusammenfallen.

ggT vs. kgV: Die Grundidee

Ein Teiler teilt eine Zahl ohne Rest. Ein Vielfaches ist eine Zahl, die du durch Multiplizieren erhältst.

Daraus ergibt sich der Hauptunterschied:

• Beim ggT suchst du den größten gemeinsamen Teiler.
• Beim kgV suchst du das kleinste gemeinsame Vielfache.

In vielen schulischen Kontexten entspricht der ggT derselben Idee wie GCF oder GCD bei positiven ganzen Zahlen. Der Name variiert je nach Region, aber die Rechenidee ist dieselbe.

Wann man den ggT und wann das kgV verwendet

Verwende den ggT, wenn es in der Aufgabe darum geht, etwas in die größten gleich großen Teile zu zerlegen oder einen Bruch zu kürzen.

Verwende das kgV, wenn es um das Abstimmen von Zyklen, das Finden eines gemeinsamen Nenners oder um die erste Zahl geht, in die beide Werte hineinpassen.

Ein schneller Test hilft:

• „Was ist das größte gemeinsame Stück?“ bedeutet ggT.
• „Was ist die erste gemeinsame Gesamtzahl?“ bedeutet kgV.

So findet man ggT und kgV

1. Auflistungsmethode

Bei kleinen Zahlen ist das Auflisten oft am schnellsten.

Wenn du den ggT suchst, liste die Teiler auf und wähle den größten gemeinsamen.

Wenn du das kgV suchst, liste die Vielfachen auf und wähle das erste gemeinsame.

2. Primfaktorzerlegung

Bei größeren positiven ganzen Zahlen ist die Primfaktorzerlegung meist übersichtlicher.

Schreibe jede Zahl als Produkt von Primzahlen. Dann gilt:

• Für den ggT behältst du nur die gemeinsamen Primzahlen und nimmst jeweils den kleineren Exponenten.
• Für das kgV behältst du jede vorkommende Primzahl und nimmst jeweils den größeren Exponenten.

Das funktioniert, weil der ggT in beide Zahlen hineinpassen muss, während das kgV genug Primfaktoren enthalten muss, um beide Zahlen abzudecken.

Durchgerechnetes Beispiel: ggT und kgV von $12$ und $18$

Beginne mit der Primfaktorzerlegung:

$$12 = 2^2 \cdot 3$$ $$18 = 2 \cdot 3^2$$

ggT

Die gemeinsamen Primzahlen sind $2$ und $3$. Nimm jedes Mal den kleineren Exponenten:

$$\mathrm{HCF}(12,18) = 2^1 \cdot 3^1 = 6$$

kgV

Behalte jede vorkommende Primzahl und nimm jedes Mal den größeren Exponenten:

$$\mathrm{LCM}(12,18) = 2^2 \cdot 3^2 = 36$$

Für dieses Zahlenpaar gilt also:

$$\mathrm{HCF}(12,18) = 6 \qquad \text{und} \qquad \mathrm{LCM}(12,18) = 36$$

Trick für zwei Zahlen

Für zwei positive ganze Zahlen $a$ und $b$ gilt:

$$\mathrm{HCF}(a,b) \cdot \mathrm{LCM}(a,b) = a \cdot b$$

Wenn du also eine der beiden Größen schon kennst, kannst du die andere oft damit finden:

$$6 \cdot 36 = 216 = 12 \cdot 18$$

Die Bedingung ist hier wichtig. Dieser Trick in dieser einfachen Form gilt für zwei positive ganze Zahlen.

Häufige Fehler bei ggT und kgV

Teiler und Vielfache verwechseln

Beim ggT geht es um Zahlen, die die Ausgangszahlen teilen. Beim kgV geht es um Zahlen, in die die Ausgangszahlen hineinpassen.

Bei der Primfaktorzerlegung die falschen Exponenten verwenden

Für den ggT nimmst du den kleineren Exponenten. Für das kgV nimmst du den größeren Exponenten. Wenn du diese Regeln vertauschst, erhältst du schnell ein falsches Ergebnis.

Eine gemeinsame Zahl wählen, die nicht die richtige ist

$2$ und $3$ sind beide gemeinsame Teiler von $12$ und $18$, aber keiner von beiden ist der größte. Ebenso ist $72$ ein gemeinsames Vielfaches von $12$ und $18$, aber nicht das kleinste.

Den Produkt-Trick ohne die richtige Bedingung verwenden

Der Trick

$$\mathrm{HCF}(a,b) \cdot \mathrm{LCM}(a,b) = a \cdot b$$

ist eine Standardkontrolle für zwei positive ganze Zahlen. Er ist nicht die Hauptmethode, die man blind bei jeder Aufgabe mit mehreren Zahlen anwenden sollte.

Wo ggT und kgV verwendet werden

Der ggT wird zum Kürzen von Brüchen und zum Aufteilen von Mengen in die größten gleich großen Gruppen verwendet.

Das kgV wird für gemeinsame Nenner und für Zeitprobleme verwendet, etwa wenn zwei sich wiederholende Ereignisse wieder gleichzeitig auftreten.

Um zum Beispiel

$$\frac{12}{18},$$

zu kürzen, teilst du Zähler und Nenner durch ihren ggT, also $6$:

$$\frac{12}{18} = \frac{2}{3}$$

Wenn du Brüche mit den Nennern $12$ und $18$ addieren würdest, wäre das kgV $36$ ein praktischer gemeinsamer Nenner.

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Bestimme den ggT und das kgV von $20$ und $30$ mit der Primfaktorzerlegung. Prüfe dein Ergebnis dann mit

$$\mathrm{HCF}(20,30) \cdot \mathrm{LCM}(20,30) = 20 \cdot 30.$$

Wenn beide Seiten übereinstimmen, hast du die Methode verstanden.