Größter gemeinsamer Teiler (ggT) — So findest du ihn

Der größte gemeinsame Teiler, kurz ggT, ist die größte positive ganze Zahl, die jede von zwei oder mehr ganzen Zahlen ohne Rest teilt. Wenn du den ggT von $18$ und $24$ suchst, ist die Antwort $6$, weil $6$ beide Zahlen genau teilt und keine größere ganze Zahl das tut.

Du kannst den ggT finden, indem du die Teiler auflistest oder die Primfaktorzerlegung verwendest. Das Auflisten ist bei kleinen Zahlen meist am schnellsten. Die Primfaktorzerlegung ist bei größeren Zahlen oft übersichtlicher.

Bedeutung des größten gemeinsamen Teilers

Ein Teiler ist eine ganze Zahl, die eine andere ganze Zahl ohne Rest teilt. Ein gemeinsamer Teiler ist ein Teiler, den die Zahlen gemeinsam haben. Der größte gemeinsame Teiler ist der größte davon.

Deshalb taucht der ggT bei Aufteilungsaufgaben und beim Kürzen von Brüchen auf. In vielen schulischen Zusammenhängen bedeuten ggT und größter gemeinsamer Divisor bei positiven ganzen Zahlen dasselbe.

So findest du den ggT

1. Liste die Teiler auf

Schreibe alle Teiler jeder Zahl auf und suche dann die größte Zahl, die in beiden Listen vorkommt.

Für $18$ sind die Teiler:

$$1,\ 2,\ 3,\ 6,\ 9,\ 18$$

Für $24$ sind die Teiler:

$$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 8,\ 12,\ 24$$

Der größte Teiler in beiden Listen ist $6$.

2. Verwende die Primfaktorzerlegung

Zerlege jede Zahl in Primfaktoren und behalte dann nur die Primfaktoren, die beide Zahlen gemeinsam haben. Wenn ein gemeinsamer Primfaktor mehr als einmal vorkommt, nimm den kleineren Exponenten. Das Produkt dieser gemeinsamen Faktoren ist der ggT.

Durchgerechnetes Beispiel: ggT von 18 und 24

Bestimme den ggT von $18$ und $24$ mit der Primfaktorzerlegung.

Zerlege zuerst jede Zahl:

$$18 = 2 \cdot 3^2$$ $$24 = 2^3 \cdot 3$$

Behalte jetzt nur die Primzahlen, die beide Zahlen gemeinsam haben, und nimm bei jeder den kleineren Exponenten. Beide Zahlen haben eine $2$ und eine $3$ gemeinsam:

$$2^1 \cdot 3^1 = 6$$

Also gilt:

$$\mathrm{GCF}(18,24) = 6$$

Eine kurze Kontrolle bestätigt das. Sowohl $18 \div 6$ als auch $24 \div 6$ sind ganze Zahlen, und der nächstgrößere Kandidat, $12$, teilt $18$ nicht.

Häufige Fehler beim ggT

Ein häufiger Fehler ist, zu früh aufzuhören. Bei $18$ und $24$ sind sowohl $2$ als auch $3$ gemeinsame Teiler, aber keiner von beiden ist der größte.

Ein anderer Fehler ist, Teiler und Vielfache zu verwechseln. Beim ggT geht es um Zahlen, die beide Werte ohne Rest teilen. Es geht nicht um Zahlen, zu denen die ursprünglichen Werte erweitert werden können.

Manche Schülerinnen und Schüler übersehen bei der Zerlegung auch gemeinsame Primfaktoren. Wenn eine Primzahl in beiden Zahlen vorkommt, gehört sie in den ggT, aber nur bis zum kleineren Exponenten.

Wann du den größten gemeinsamen Teiler verwendest

Der ggT ist besonders nützlich, wenn du Brüche kürzen, Dinge in möglichst große gleich große Gruppen aufteilen oder die größte Einheit finden willst, die mehrere Maße genau teilt.

Zum Beispiel kürzt man $\frac{18}{24}$, indem man Zähler und Nenner durch ihren ggT $6$ teilt:

$$\frac{18}{24} = \frac{3}{4}$$

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Versuche, den ggT von $20$ und $30$ zuerst durch Auflisten der Teiler und dann mit der Primfaktorzerlegung zu finden. Wenn beide Methoden dieselbe Antwort ergeben, hast du das Prinzip verstanden.