Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) – Methoden & Beispiele

Das kleinste gemeinsame Vielfache, kurz kgV, ist die kleinste positive Zahl, die zwei oder mehr positive ganze Zahlen als Vielfaches gemeinsam haben. Zum Beispiel ist das kgV von $6$ und $8$ gleich $24$, weil $24$ ein Vielfaches beider Zahlen ist und keine kleinere positive Zahl dafür infrage kommt.

Diese Idee brauchst du meist bei gemeinsamen Nennern, sich wiederholenden Zeitplänen und bei Fragen dazu, wann zwei Muster wieder gleichzeitig auftreten.

Was das kgV bedeutet

Ein Vielfaches von $6$ ist jede Zahl der Form $6k$ für eine positive ganze Zahl $k$: $6, 12, 18, 24, \dots$

Ein Vielfaches von $8$ ist jede Zahl der Form $8k$: $8, 16, 24, 32, \dots$

Die erste positive Zahl, die in beiden Listen vorkommt, ist $24$, also:

$$\mathrm{LCM}(6,8) = 24$$

Es hilft, sich einen wichtigen Unterschied klarzumachen:

• Ein Faktor teilt eine Zahl.
• Ein Vielfaches entsteht durch Multiplikation mit einer Zahl.

Beim kgV geht es um Vielfache, nicht um Faktoren.

Drei zuverlässige Wege, das kgV zu finden

1. Vielfache auflisten

Das funktioniert gut bei kleinen Zahlen.

Für $4$ und $10$:

• Vielfache von $4$: $4, 8, 12, 16, 20, \dots$
• Vielfache von $10$: $10, 20, 30, \dots$

Das erste gemeinsame Vielfache ist $20$, also ist das kgV gleich $20$.

2. Primfaktorzerlegung verwenden

Das ist bei größeren positiven ganzen Zahlen oft die übersichtlichste Methode.

Schreibe jede Zahl als Produkt von Primzahlen und nimm dann jede vorkommende Primzahl mit dem größten Exponenten, der bei dieser Primzahl auftritt.

3. Die Beziehung zum ggT verwenden

Für zwei positive ganze Zahlen $a$ und $b$ gilt:

$$\mathrm{LCM}(a,b) = \frac{a \cdot b}{\mathrm{GCD}(a,b)}$$

Diese Methode ist effizient, wenn du den größten gemeinsamen Teiler bereits kennst. Die Bedingung ist wichtig: Diese Formel wird für positive ganze Zahlen verwendet.

Beispiel mit Lösung: Finde das kgV von $12$ und $18$

Verwende die Primfaktorzerlegung:

$$12 = 2^2 \cdot 3$$ $$18 = 2 \cdot 3^2$$

Um das kgV zu bilden, nimm jede Primzahl mit dem größeren Exponenten:

• Für $2$ ist der größere Exponent $2$
• Für $3$ ist der größere Exponent $2$

Also:

$$\mathrm{LCM}(12,18) = 2^2 \cdot 3^2 = 36$$

Prüfe es direkt:

• $36 \div 12 = 3$
• $36 \div 18 = 2$

Also ist $36$ ein gemeinsames Vielfaches. Die Methode mit Primfaktoren liefert das kleinste, weil sie genau die Primzahlpotenzen verwendet, die nötig sind, um beide Zahlen zu enthalten.

Wann das kgV verwendet wird

Das kgV ist nützlich, wenn in einer Aufgabe nach einem gemeinsamen Zyklus oder einem gemeinsamen Nenner gefragt wird.

Ein häufiges Beispiel ist das Addieren von Brüchen:

$$\frac{1}{6} + \frac{1}{8}$$

Die Nenner $6$ und $8$ haben das kgV $24$, also ist $24$ ein praktischer gemeinsamer Nenner:

$$\frac{1}{6} = \frac{4}{24}, \qquad \frac{1}{8} = \frac{3}{24}$$

Dann gilt:

$$\frac{1}{6} + \frac{1}{8} = \frac{7}{24}$$

Du verwendest das kgV auch, wenn zwei sich wiederholende Ereignisse alle $m$ bzw. $n$ Einheiten stattfinden und du wissen willst, wann sie zum ersten Mal gleichzeitig auftreten.

Häufige Fehler

kgV und ggT verwechseln

Wenn nach dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen gefragt wird, verwende das kgV. Wenn nach dem größten gemeinsamen Faktor gefragt wird, verwende den ggT.

Bei einem gemeinsamen Vielfachen aufhören, das nicht das kleinste ist

Für $6$ und $8$ sind sowohl $24$ als auch $48$ gemeinsame Vielfache, aber nur $24$ ist das kleinste gemeinsame Vielfache.

Die Regel mit den Primfaktoren ohne Primfaktorzerlegung anwenden

Die Regel „nimm den größeren Exponenten“ gilt erst, nachdem die Zahlen als Primfaktorzerlegungen positiver ganzer Zahlen geschrieben wurden.

Eine schnelle Kontrolle

Nachdem du ein kgV gefunden hast, prüfe zwei Dinge:

1. Ist deine Antwort durch jede der ursprünglichen Zahlen teilbar?
2. Gibt es ein kleineres positives gemeinsames Vielfaches?

Bei der Methode mit Primfaktoren ist die zweite Prüfung meist schon in der Methode selbst enthalten.

Probiere es selbst

Versuche, das kgV von $15$ und $20$ auf zwei Arten zu finden: durch Auflisten der Vielfachen und durch Primfaktorzerlegung. Wenn du bei größeren Zahlen eine zweite Kontrolle möchtest, kann ein Mathe-Tool helfen, die Zerlegung und das endgültige Vielfache zu überprüfen.