Brüche dividieren — Kehrwert bilden und multiplizieren

Um Brüche zu dividieren, lässt du den ersten Bruch stehen, bildest vom Divisor den Kehrwert und multiplizierst. Diese Kurzregel funktioniert, solange der Divisor nicht null ist.

Zum Beispiel:

$$\frac{3}{4} \div \frac{1}{2} = \frac{3}{4} \times \frac{2}{1} = \frac{3}{2}$$

Hier wird das Ergebnis größer, weil das Teilen durch $\frac{1}{2}$ fragt, wie viele Hälften in $\frac{3}{4}$ enthalten sind.

Allgemein gilt:

$$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$$

solange $b \ne 0$, $d \ne 0$ und $\frac{c}{d} \ne 0$.

So dividierst du Brüche

Der umgedrehte Bruch heißt Kehrwert. Der Kehrwert von $\frac{2}{3}$ ist $\frac{3}{2}$, weil Zähler und Nenner die Plätze tauschen.

Verwende dieses Vorgehen:

1. Lass den ersten Bruch unverändert.
2. Drehe den zweiten Bruch um, also den Divisor.
3. Multipliziere Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner.
4. Kürze das Ergebnis.

Warum Kehrwert bilden und multiplizieren funktioniert

Durch eine Zahl zu teilen ist dasselbe wie mit ihrem multiplikativen Inversen zu multiplizieren. Für einen von null verschiedenen Bruch $\frac{c}{d}$ ist dieses Inverse $\frac{d}{c}$, denn

$$\frac{c}{d} \times \frac{d}{c} = 1$$

Deshalb liefert das Teilen durch $\frac{c}{d}$ dasselbe Ergebnis wie das Multiplizieren mit $\frac{d}{c}$. Genau das ist der Grund, warum die Regel funktioniert, und nicht nur ein Trick zum Auswendiglernen.

Beispiel: $\frac{3}{4} \div \frac{1}{2}$

Wir beginnen mit

$$\frac{3}{4} \div \frac{1}{2}$$

Lass den ersten Bruch stehen und bilde vom Divisor den Kehrwert:

$$\frac{3}{4} \times \frac{2}{1}$$

Multipliziere:

$$\frac{3}{4} \times \frac{2}{1} = \frac{6}{4}$$

Kürze:

$$\frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$$

Also gilt:

$$\frac{3}{4} \div \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$$

Das ergibt auch in Worten Sinn: „Wie viele Hälften passen in drei Viertel?“ Die Antwort ist $1\frac{1}{2}$ Hälften.

Warum das Teilen durch einen Bruch das Ergebnis größer machen kann

Schülerinnen und Schüler erwarten oft, dass Division Zahlen kleiner macht. Das stimmt, wenn du durch eine positive Zahl größer als $1$ teilst, aber nicht, wenn du durch einen positiven Bruch kleiner als $1$ teilst.

Wenn du durch $\frac{1}{2}$ teilst, zählst du Hälften. Da Hälften kleinere Teile als Ganze sind, passen oft mehr als eine davon in die ursprüngliche Menge. Deshalb ist $\frac{3}{4} \div \frac{1}{2}$ größer als $\frac{3}{4}$.

Häufige Fehler beim Dividieren von Brüchen

Den falschen Bruch umdrehen

Du drehst nur den zweiten Bruch um, also den Divisor. Der erste Bruch bleibt unverändert.

Die Null-Bedingung vergessen

Du kannst nicht durch $0$ teilen, also darf der Divisor nicht der Nullbruch sein. Zum Beispiel ist $\frac{5}{6} \div 0$ nicht definiert.

Zähler durch Zähler und Nenner durch Nenner teilen

Das ist nicht die Regel für die Division von Brüchen. Nachdem du den Divisor umgedreht hast, multiplizierst du geradeaus.

Vergessen, ganze Zahlen als Brüche zu schreiben

Wenn eine ganze Zahl vorkommt, schreibe sie über $1$. Zum Beispiel bedeutet $2 \div \frac{2}{3}$ dasselbe wie $\frac{2}{1} \div \frac{2}{3}$.

Eine einfache Kürzung übersehen

Du kannst zuerst multiplizieren und am Ende kürzen, aber manchmal ist es einfacher, gemeinsame Faktoren schon vor dem Multiplizieren zu kürzen. Beide Wege sind in Ordnung, solange die Rechnung korrekt ist.

Wann du das Dividieren von Brüchen brauchst

Das Dividieren von Brüchen kommt bei Messungen, Rezepten, Einheitsraten und Skalierungsaufgaben vor. Wenn du die Größe eines Teils kennst und wissen willst, wie viele solcher Teile in eine Gesamtmenge passen, ist die Bruchdivision oft das passende Modell.

Wenn ein Rezept zum Beispiel pro Portion $\frac{2}{3}$ Tasse Milch braucht und du $2$ Tassen Milch hast, dann wird die Frage „Wie viele Portionen kann ich machen?“ zu

$$2 \div \frac{2}{3}$$

Das ist Bruchdivision, auch wenn eine der Zahlen eine ganze Zahl ist.

Ein kurzer Check, bevor du weitermachst

Frage dich nach dem Rechnen, ob die Größe des Ergebnisses sinnvoll ist.

• Wenn du durch einen positiven Bruch kleiner als $1$ teilst, sollte das Ergebnis größer werden.
• Wenn du durch eine positive Zahl größer als $1$ teilst, sollte das Ergebnis kleiner werden.

Das ersetzt die Rechnung nicht, ist aber eine gute Möglichkeit, einen falsch umgedrehten Bruch oder einen Vorzeichenfehler zu entdecken.

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Versuche $\frac{5}{6} \div \frac{2}{3}$ und entscheide vor dem Rechnen, ob das Ergebnis kleiner oder größer als $\frac{5}{6}$ sein sollte. Wenn du noch einen weiteren Fall zum Überprüfen deiner Schritte möchtest, löse eine ähnliche Aufgabe mit GPAI Solver.