Kreisgleichung

Die Kreisgleichung gibt an, welche Punkte von einem Mittelpunkt einen festen Abstand haben. Hat ein Kreis den Mittelpunkt $(h, k)$ und den Radius $r$, dann lautet seine Standardgleichung

$$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$$

Das funktioniert, weil jeder Punkt $(x, y)$ auf dem Kreis genau $r$ Einheiten vom Mittelpunkt entfernt ist. Liegt der Mittelpunkt im Ursprung, wird die Gleichung zu

$$x^2 + y^2 = r^2$$

Das ist die schnellste Art, einen Kreis in der Koordinatengeometrie zu erkennen.

Was die Gleichung bedeutet

Der Ausdruck $x - h$ misst den horizontalen Abstand vom Mittelpunkt, und $y - k$ misst den vertikalen Abstand vom Mittelpunkt. Wenn man diese Abstände quadriert und addiert, erhält man die Distanzformel:

$$\text{distance}^2 = (x - h)^2 + (y - k)^2$$

Für Punkte auf dem Kreis muss dieser quadrierte Abstand gleich $r^2$ sein. Die Gleichung ist also eine kompakte Art zu sagen: „Jeder Punkt hier bleibt im gleichen Abstand vom Mittelpunkt.“

Anschauliche Vorstellung

Stell dir den Mittelpunkt als festen Anker vor. Ein Kreis ist die Menge aller Punkte, die genau einen Radius von diesem Anker entfernt bleiben. Die Gleichung beschreibt nicht nur einen einzelnen Punkt. Sie beschreibt den gesamten Rand, der aus all diesen Punkten entsteht.

Deshalb ist auch der Radius so wichtig. Wenn du $r$ änderst, bleibt der Mittelpunkt gleich, aber der Kreis wird größer oder kleiner.

Ein durchgerechnetes Beispiel

Stelle die Gleichung des Kreises mit Mittelpunkt $(3, -2)$ und Radius $5$ auf.

Beginne mit der Standardform:

$$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$$

Setze $h = 3$, $k = -2$ und $r = 5$ ein:

$$(x - 3)^2 + (y - (-2))^2 = 5^2$$

Vereinfache:

$$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$$

Das ist die Gleichung des Kreises.

Du kannst sie mit einem Punkt überprüfen, der auf dem Kreis liegen sollte. Der Punkt $(8, -2)$ liegt $5$ Einheiten rechts vom Mittelpunkt, also sollte es passen:

$$(8 - 3)^2 + (-2 + 2)^2 = 5^2 + 0 = 25$$

Das stimmt, also passt die Gleichung zum Mittelpunkt und zum Radius.

Häufige Fehler

1. Den Mittelpunkt direkt aus den Vorzeichen ablesen. In $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$ ist der Mittelpunkt $(3, -2)$ und nicht $(3, 2)$.
2. Vergessen, den Radius zu quadrieren. Wenn der Radius $5$ ist, steht rechts $25$ und nicht $5$.
3. Den Durchmesser so zu verwenden, als wäre er der Radius. Wenn der Durchmesser gegeben ist, teile zuerst durch $2$.
4. Einen reellen Kreis zu erwarten, wenn $r^2$ negativ ist. Eine Gleichung wie $(x - 1)^2 + (y + 4)^2 = -9$ hat keine reellen Punkte.

Wichtige Sonderfälle

Wenn $r > 0$, beschreibt die Gleichung einen echten Kreis.

Wenn $r = 0$, beschreibt die Gleichung genau einen Punkt, nämlich den Mittelpunkt selbst.

Wenn $r^2 < 0$, gibt es keinen reellen Kreis, weil quadrierte Abstände nicht negativ sein können.

Wo das Konzept verwendet wird

Die Kreisgleichung kommt in der Koordinatengeometrie, der analytischen Geometrie und der Vorkalkulation vor. Sie wird verwendet, um Kreise zu zeichnen, zu prüfen, ob ein Punkt auf einem Kreis liegt, den Abstand zu einem festen Ort zu modellieren und kompliziertere Gleichungen in eine erkennbare Kreisform umzuschreiben.

Sie ist außerdem eng mit der Distanzformel und der quadratischen Ergänzung verbunden. Letztere wird oft verwendet, um eine längere Gleichung in die Standardform eines Kreises umzuwandeln.

Eine gute gedankliche Kontrolle

Wenn du $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ siehst, stelle dir zwei kurze Fragen:

1. Welchen Mittelpunkt ergeben die Vorzeichen?
2. Ist die rechte Seite wirklich der Radius zum Quadrat?

Mit diesen beiden Kontrollen findet man die meisten Fehler.

Probiere deine eigene Version

Versuche, die Gleichung des Kreises mit Mittelpunkt $(-4, 1)$ und Radius $3$ aufzustellen. Prüfe dann, ob der Punkt $(-1, 1)$ auf ihm liegt. Wenn du noch einen Schritt weitergehen willst, nimm eine längere Gleichung und schreibe sie in die Standardform eines Kreises um.