Hyperbel - Gleichung, Asymptoten & Eigenschaften

Eine Hyperbel ist eine Kurve mit zwei offenen Ästen. In der Koordinatengeometrie erkennt man sie am schnellsten daran, dass in ihrer Standardgleichung ein quadrierter Term von einem anderen subtrahiert wird.

Für eine achsenparallele Hyperbel mit Mittelpunkt bei $(h, k)$ sind die zwei gebräuchlichen Standardformen

$$\frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1$$

und

$$\frac{(y - k)^2}{a^2} - \frac{(x - h)^2}{b^2} = 1$$

Die erste öffnet sich nach links und rechts. Die zweite öffnet sich nach oben und unten.

Die schnelle Leseregel lautet: Der Mittelpunkt kommt von $(h, k)$, der positive Term zeigt die Öffnungsrichtung, und die Asymptoten zeigen die Richtungen, denen sich die Äste annähern.

Was eine Hyperbel ist

Geometrisch kann eine Hyperbel als die Menge aller Punkte definiert werden, für die die absolute Differenz der Abstände zu zwei festen Punkten, den Brennpunkten, konstant ist.

Diese Definition erklärt, warum der Graph zwei Äste statt einer geschlossenen Schleife hat. In den meisten Aufgaben aus Algebra und Vorkalkül arbeitet man jedoch mit der Gleichung, weil man den Graphen daraus viel schneller ablesen kann.

Wie man eine Hyperbelgleichung liest

Wenn die Gleichung

$$\frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1$$

lautet, dann gelten für eine achsenparallele Hyperbel diese Eigenschaften:

• Mittelpunkt: $(h, k)$
• Öffnungsrichtung: links-rechts
• Scheitelpunkte: $(h \pm a, k)$
• Asymptoten: $y - k = \pm \frac{b}{a}(x - h)$

Wenn die Gleichung

$$\frac{(y - k)^2}{a^2} - \frac{(x - h)^2}{b^2} = 1$$

lautet, dann gilt:

• Mittelpunkt: $(h, k)$
• Öffnungsrichtung: oben-unten
• Scheitelpunkte: $(h, k \pm a)$
• Asymptoten: $y - k = \pm \frac{a}{b}(x - h)$

Für diese gleichen achsenparallelen Formen liegen die Brennpunkte weiter vom Mittelpunkt entfernt als die Scheitelpunkte, und die Abstände erfüllen

$$c^2 = a^2 + b^2$$

Verwende diese Formeln nur für achsenparallele Hyperbeln in Standardform. Wenn die Gleichung zusätzliche Terme enthält oder gedreht ist, braucht man mehr Arbeit, bevor man den Graphen auf diese Weise ablesen kann.

Was die Asymptoten aussagen

Asymptoten sind Geraden, die die Äste leiten. Sie sind keine zufälligen Zusatzmerkmale. Sie zeigen die Richtung des Graphen für große Werte.

In der Nähe des Mittelpunkts biegt sich die Kurve von den Asymptoten weg. Weit vom Mittelpunkt entfernt nähert sich jeder Ast ihnen immer mehr an. Deshalb sind Asymptoten eine der schnellsten Möglichkeiten, eine Hyperbel genau zu skizzieren.

Durchgerechnetes Beispiel: den Graphen aus der Gleichung ablesen

Betrachte

$$\frac{(x - 2)^2}{16} - \frac{(y + 1)^2}{9} = 1$$

Das ist die horizontale Standardform, also öffnet sich die Hyperbel nach links und rechts.

Der Mittelpunkt ist $(2, -1)$, weil $(x - 2)$ um $2$ nach rechts verschiebt und $(y + 1)$ um $1$ nach unten verschiebt.

Aus den Nennern folgt

$$a^2 = 16 \quad \Rightarrow \quad a = 4$$

und

$$b^2 = 9 \quad \Rightarrow \quad b = 3$$

Also sind die Scheitelpunkte

$$(2 \pm 4, -1)$$

und damit

$$(6, -1) \text{ und } (-2, -1)$$

Für die Asymptoten verwendet man die Steigung $\pm b/a = \pm 3/4$, und sie gehen durch den Mittelpunkt:

$$y + 1 = \pm \frac{3}{4}(x - 2)$$

Wenn du auch die Brennpunkte bestimmen möchtest, verwende $c^2 = a^2 + b^2$:

$$c^2 = 16 + 9 = 25 \quad \Rightarrow \quad c = 5$$

Also sind die Brennpunkte

$$(2 \pm 5, -1)$$

oder $(7, -1)$ und $(-3, -1)$.

Damit hat man die vollständige Skizze: Trage den Mittelpunkt ein, markiere die Scheitelpunkte, zeichne die Asymptoten durch den Mittelpunkt und zeichne dann zwei Äste, die sich vom Mittelpunkt wegbewegen und sich dabei diesen Geraden annähern.

Häufige Fehler bei Hyperbeln

1. Vergessen, dass eine Hyperbel in der Standardform eine Subtraktion hat. Wenn die quadrierten Terme addiert werden, betrachtet man eine Ellipse, keine Hyperbel.
2. $a^2$ und $b^2$ verwechseln. In diesen Standardformen gehört $a^2$ zum positiven Term.
3. Die falsche Asymptotensteigung verwenden. Bei einer horizontalen Hyperbel sind die Steigungen $\pm b/a$. Bei einer vertikalen sind sie $\pm a/b$.
4. Die Vorzeichen des Mittelpunkts falsch ablesen. Ein Term wie $(x + 2)^2$ bedeutet, dass die $x$-Koordinate des Mittelpunkts $-2$ ist.

Wo Hyperbeln verwendet werden

Hyperbeln begegnen dir in Kegelschnitten, analytischer Geometrie und koordinatenbasierter Modellierung. Sie treten auch auf, wenn ein Problem durch eine konstante Differenz der Abstände zu zwei festen Punkten definiert ist.

Für die meisten Schülerinnen und Schüler ist die praktische Anwendung einfacher: Wenn du Mittelpunkt, Öffnungsrichtung, Scheitelpunkte und Asymptoten bestimmen kannst, kannst du die Standardformen schnell zeichnen und die häufigsten Fehler in Prüfungen vermeiden.

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Versuche, die folgende Gleichung zu skizzieren:

$$\frac{(y - 3)^2}{25} - \frac{(x + 1)^2}{4} = 1$$

Bestimme zuerst den Mittelpunkt und entscheide, ob sich die Äste nach oben-unten oder links-rechts öffnen. Gib dann die Scheitelpunkte und Asymptoten an. Wenn du noch einen Schritt weitergehen möchtest, schau dir einen anderen Kegelschnitt an und vergleiche, wie sich eine Hyperbel von einer Ellipse unterscheidet.