Parallele und senkrechte Geraden — Steigung & Beispiele

Parallele Geraden schneiden sich nie, und senkrechte Geraden treffen sich im rechten Winkel. In der Koordinatengeometrie ist die Steigung der schnellste Weg, um zu erkennen, welche Beziehung vorliegt.

Für zwei nicht vertikale Geraden ist die Regel einfach: gleiche Steigungen bedeuten parallele Geraden, und negative Kehrwerte der Steigungen bedeuten senkrechte Geraden. Wenn eine Gerade vertikal und die andere horizontal ist, sind sie ebenfalls senkrecht.

So erkennst du, ob Geraden parallel sind

Parallele Geraden haben dieselbe Richtung und bleiben in einer Ebene immer gleich weit voneinander entfernt. In einem Koordinatensystem haben sie die gleiche Neigung.

Wenn zwei verschiedene nicht vertikale Geraden die Steigungen $m_1$ und $m_2$ haben, dann sind sie parallel, wenn

$$m_1 = m_2$$

Das Wort verschieden ist wichtig. Wenn sowohl Steigung als auch Achsenabschnitt übereinstimmen, können die Gleichungen dieselbe Gerade in zwei verschiedenen Formen beschreiben.

So erkennst du, ob Geraden senkrecht sind

Senkrechte Geraden schneiden sich in einem Winkel von $90^\circ$. Wenn beide Steigungen definiert sind, gilt die Bedingung

$$m_1 m_2 = -1$$

Das ist dasselbe, wie zu sagen, dass die Steigungen negative Kehrwerte voneinander sind.

Wenn zum Beispiel eine Steigung $2$ ist, dann ist die senkrechte Steigung $-\frac{1}{2}$. Wenn eine Steigung $-\frac{3}{4}$ ist, dann ist die senkrechte Steigung $\frac{4}{3}$.

Diese Regel gilt nur, wenn beide Steigungen als Zahlen existieren. Eine vertikale Gerade hat eine nicht definierte Steigung, daher ist ihre senkrechte Partnergerade eine horizontale Gerade mit der Steigung $0$.

Durchgerechnetes Beispiel: zwei Geraden anhand ihrer Gleichungen einordnen

Entscheide, ob diese Geraden parallel, senkrecht oder weder noch sind:

$$2x - y = 3$$ $$x + 2y = 8$$

Bringe zuerst jede Gleichung in eine Form, in der man die Steigung leicht ablesen kann.

Aus $2x - y = 3$ folgt durch Auflösen nach $y$:

$$y = 2x - 3$$

Also ist die erste Steigung $2$.

Aus $x + 2y = 8$ folgt durch Auflösen nach $y$:

$$2y = -x + 8$$ $$y = -\frac{1}{2}x + 4$$

Also ist die zweite Steigung $-\frac{1}{2}$.

Vergleiche sie jetzt. Der negative Kehrwert von $2$ ist $-\frac{1}{2}$, also sind die Geraden senkrecht. Du kannst das auch mit der Produktregel prüfen:

$$2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -1$$

Das sagt dir sofort etwas Geometrisches: Wenn sich diese Geraden schneiden, bilden sie einen rechten Winkel.

Eine schnelle Methode, um jedes Geradenpaar zu prüfen

Wenn in einer Aufgabe zwei Gleichungen gegeben sind, gehe in dieser Reihenfolge vor:

1. Bringe jede Gerade in eine Form, in der man die Steigung leicht ablesen kann.
2. Vergleiche die Steigungen.
3. Wenn die Steigungen gleich sind, prüfe, ob die Geraden verschieden sind, bevor du sie parallel nennst.
4. Wenn die Steigungen negative Kehrwerte sind, sind die Geraden senkrecht.
5. Wenn keine der beiden Bedingungen erfüllt ist, sind die Geraden weder parallel noch senkrecht.

So vermeidest du Verwechslungen zwischen gleicher Steigung, entgegengesetzter Steigung und negativem Kehrwert.

Häufige Fehler bei der Steigung

Ein häufiger Fehler ist die Aussage, dass senkrechte Geraden entgegengesetzte Steigungen haben. Das reicht nicht aus. Die Steigungen $2$ und $-2$ sind Gegenzahlen, aber keine negativen Kehrwerte, also sind diese Geraden nicht senkrecht.

Ein weiterer Fehler ist, den Sonderfall von vertikalen und horizontalen Geraden zu vergessen. Eine vertikale Gerade hat eine nicht definierte Steigung, deshalb kann man sie nicht mit dem Produkt der Steigungen auf $-1$ testen.

Manche Schülerinnen und Schüler nennen zwei Geraden auch dann parallel, wenn nur die Steigungen übereinstimmen. Wenn auch die Achsenabschnitte gleich sind, beschreiben die Gleichungen dieselbe Gerade und nicht zwei verschiedene parallele Geraden.

Wo parallele und senkrechte Geraden verwendet werden

Parallele und senkrechte Geraden kommen beim Zeichnen von Graphen, in der analytischen Geometrie, bei Koordinatenbeweisen und in Aufgaben zu Geradengleichungen vor. Sie sind auch in Design- und Ingenieurkontexten nützlich, in denen Richtung und rechte Winkel wichtig sind.

Der praktische Punkt ist: Die Steigung macht aus einer visuellen Idee einen schnellen numerischen Test.

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Probiere deine eigene Variante mit den Geraden $y = -3x + 2$ und $y = -3x - 5$. Lies zuerst die Steigungen ab, entscheide, ob die Geraden parallel, senkrecht oder weder noch sind, und prüfe dann, ob die Achsenabschnitte deine Antwort verändern.

Wenn du danach noch einen weiteren Fall möchtest, sieh dir Slope Formula an und ordne dann ein Geradenpaar anhand von zwei Punkten statt anhand von Gleichungen ein.