应力-应变曲线

应力-应变曲线展示了材料在载荷不断增大时如何发生变形，通常来自拉伸试验。它能帮助你快速读出四个关键信息：刚度、何时开始出现永久变形、达到的最大工程应力，以及材料如何逐渐接近断裂。

在常见的工程版图像中，纵轴是应力，横轴是应变：

$$\sigma = \frac{F}{A_0}$$

以及

$$\epsilon = \frac{\Delta L}{L_0}$$

其中，$\sigma$ 是工程应力，$\epsilon$ 是工程应变，$F$ 是外加力，$A_0$ 是原始横截面积，$\Delta L$ 是长度变化量，$L_0$ 是原始长度。“工程”这个词很重要，因为这些公式使用的是试样的原始尺寸。

如何读应力-应变曲线

曲线的第一部分通常接近一条直线。在这个线性弹性区内，如果去掉载荷，材料会近似恢复到原来的形状。这段直线部分的斜率就是杨氏模量：

$$E = \frac{\Delta \sigma}{\Delta \epsilon}$$

如果这条直线接近通过原点，那么在该区域内某一点也可以用 $E \approx \sigma / \epsilon$。这个条件很重要：一旦曲线开始明显弯曲，这个简便方法就不能再用来求杨氏模量了。

在弹性阶段之后，许多材料会达到屈服并进入塑性区。在这个区域内，卸载后会留下永久变形。对于典型的延性材料拉伸过程，工程应力可能继续上升，直到达到一个最大值，称为极限抗拉强度；随后在断裂前，由于出现缩颈，工程应力会下降。

并不是所有材料的曲线形状都相同。脆性材料可能在几乎没有塑性变形的情况下就发生断裂，而且有些材料并没有清晰、明显的屈服点。

例题：弹性区、屈服与峰值应力

假设某试样在应力-应变曲线的线性部分上有一点：

$$\epsilon = 0.0015,\qquad \sigma = 300\ \mathrm{MPa}$$

因为这一点位于线性弹性区，所以可以用斜率来估算杨氏模量。如果图像中的直线部分接近通过原点，那么这里有

$$E = \frac{\sigma}{\epsilon} = \frac{300\ \mathrm{MPa}}{0.0015} = 200{,}000\ \mathrm{MPa} = 200\ \mathrm{GPa}$$

现在再假设，同一条曲线在大约 $350\ \mathrm{MPa}$ 时开始出现永久变形，并且在工程应力开始下降之前，达到最大工程应力 $480\ \mathrm{MPa}$。

这样你就可以对这条曲线作出实际判断：

• $300\ \mathrm{MPa}$ 这一点仍处于弹性范围内。
• 在大约 $350\ \mathrm{MPa}$ 时开始屈服，因此在这之后卸载会留下永久应变。
• 接近 $480\ \mathrm{MPa}$ 的峰值是工程曲线中的极限抗拉强度，不一定就是断裂点。
• 峰值之后向下的部分并不表示试样在恢复。对于延性材料的拉伸试验，这通常反映的是缩颈，而工程应力仍然按原始面积计算。

一张图就能同时告诉你材料的刚度和强度，这也是为什么应力-应变曲线比单独一个断裂力数值更有用。

读图时的常见错误

• 把应力-应变曲线当成与力-伸长图完全相同。
• 用弯曲区域的数据来计算杨氏模量。
• 认为每种材料都有清晰、明显的屈服点。
• 忘记区分图中使用的是工程应力-应变还是真实应力-应变。
• 认为工程曲线上的最高点一定就是发生断裂的位置。

应力-应变曲线的应用

应力-应变曲线广泛用于材料测试、结构设计、制造和失效分析。在为具体任务选择材料时，它能帮助工程师比较刚度、强度、延性和韧性。

它在物理和初级工程课程中也很重要，因为它把力、面积、变形、弹性和永久变化这些概念集中在一张图中联系起来。

试试类似的问题

你也可以自己做一个类似练习：从线性弹性区取一个点，估算 $E$。然后再拿屈服后的一个点进行比较，你就会明白为什么一旦图像不再线性，同样的简便方法就不再适用了。