응력-변형률 곡선

응력-변형률 곡선은 하중이 증가할 때 재료가 어떻게 변형되는지를 보여 주며, 보통 인장 시험에서 얻습니다. 이 곡선을 보면 네 가지를 빠르게 읽을 수 있습니다. 강성, 영구 변형이 시작되는 시점, 도달한 최대 공학적 응력, 그리고 재료가 파단에 어떻게 가까워지는지입니다.

일반적인 공학용 그래프에서는 세로축이 응력이고 가로축이 변형률입니다:

$$\sigma = \frac{F}{A_0}$$

그리고

$$\epsilon = \frac{\Delta L}{L_0}$$

여기서 $\sigma$는 공학적 응력, $\epsilon$는 공학적 변형률, $F$는 가해진 힘, $A_0$는 원래 단면적, $\Delta L$는 길이 변화량, $L_0$는 원래 길이입니다. 여기서 "공학적"이라는 말이 중요한 이유는, 이 식들이 시험편의 원래 치수를 사용하기 때문입니다.

응력-변형률 곡선을 읽는 방법

곡선의 첫 부분은 직선에 가까운 경우가 많습니다. 이 선형 탄성 영역에서는 하중을 제거하면 재료가 거의 원래 형태로 돌아갑니다. 그 직선 부분의 기울기가 영률(Young's modulus)입니다:

$$E = \frac{\Delta \sigma}{\Delta \epsilon}$$

직선이 원점에 가깝게 지나간다면, 그 영역 안의 한 점에서 $E \approx \sigma / \epsilon$도 사용할 수 있습니다. 이 조건은 중요합니다. 곡선이 눈에 띄게 휘기 시작하면, 이 간단한 방법으로는 더 이상 영률을 구할 수 없습니다.

탄성 구간 이후에는 많은 재료가 항복에 도달하고 소성 영역으로 들어갑니다. 이 영역에서는 하중을 제거해도 영구 변형이 남습니다. 전형적인 연성 재료의 인장 시험에서는 공학적 응력이 최대값까지 계속 증가할 수 있는데, 이 값을 인장강도(ultimate tensile strength)라고 합니다. 그 뒤에는 목줄어듦(necking)이 진행되면서 파단 전에 응력이 감소합니다.

모든 재료가 같은 형태의 곡선을 보이는 것은 아닙니다. 취성 재료는 소성 변형이 거의 없이 파단될 수 있고, 어떤 재료는 뚜렷하고 명확한 항복점을 가지지 않기도 합니다.

예제: 탄성 영역, 항복, 최대 응력

어떤 시험편이 응력-변형률 곡선의 선형 구간에서 다음 점에 있다고 가정합시다.

$$\epsilon = 0.0015,\qquad \sigma = 300\ \mathrm{MPa}$$

이 점은 선형 탄성 영역 안에 있으므로, 기울기에서 영률을 추정할 수 있습니다. 그래프의 직선 부분이 원점에 가깝게 지난다면, 여기서는

$$E = \frac{\sigma}{\epsilon} = \frac{300\ \mathrm{MPa}}{0.0015} = 200{,}000\ \mathrm{MPa} = 200\ \mathrm{GPa}$$

이제 같은 곡선이 약 $350\ \mathrm{MPa}$에서 영구 변형을 보이기 시작하고, 공학적 응력이 감소하기 전에 최대 공학적 응력 $480\ \mathrm{MPa}$에 도달한다고 가정합시다.

그러면 이 곡선을 실제로 이렇게 읽을 수 있습니다:

• $300\ \mathrm{MPa}$에서의 점은 아직 탄성 범위 안에 있습니다.
• 약 $350\ \mathrm{MPa}$ 부근에서 항복이 시작되므로, 그 이후에 하중을 제거하면 영구 변형률이 남습니다.
• 약 $480\ \mathrm{MPa}$ 근처의 최고점은 공학적 곡선에서의 인장강도이며, 반드시 파단점이라는 뜻은 아닙니다.
• 최고점 이후의 하강 구간이 시편이 회복되고 있다는 뜻은 아닙니다. 연성 재료의 인장 시험에서는 보통 원래 단면적으로 계속 공학적 응력을 계산하는 동안 목줄어듦이 진행된다는 것을 반영합니다.

이제 하나의 그래프만으로도 강성과 강도를 모두 알 수 있습니다. 그래서 응력-변형률 곡선은 단순한 파단 하중 수치 하나보다 더 유용합니다.

곡선을 읽을 때 흔한 실수

• 응력-변형률 곡선을 힘-신장 그래프와 같은 것으로 취급하는 것.
• 휘어진 구간의 데이터를 사용해 영률을 계산하는 것.
• 모든 재료에 뚜렷하고 명확한 항복점이 있다고 가정하는 것.
• 그래프가 공학적 응력-변형률인지 진응력-진변형률인지 확인하지 않는 것.
• 공학적 곡선의 최고점이 자동으로 파단이 일어나는 지점이라고 생각하는 것.

응력-변형률 곡선의 활용 분야

응력-변형률 곡선은 재료 시험, 구조 설계, 제조, 파손 해석에 사용됩니다. 엔지니어는 이 곡선을 통해 어떤 재료를 선택할지 결정할 때 강성, 강도, 연성, 인성을 비교할 수 있습니다.

또한 이 곡선은 물리학과 기초 공학 과목에서도 중요합니다. 힘, 면적, 변형, 탄성, 영구 변화가 하나의 그림 안에서 연결되기 때문입니다.

비슷한 문제를 직접 풀어 보세요

선형 탄성 영역의 한 점을 골라 직접 $E$를 추정해 보세요. 그런 다음 항복 이후의 한 점과 비교해 보면서, 그래프가 더 이상 선형이 아닐 때 왜 같은 간단한 방법이 통하지 않는지 확인해 보세요.