Spannungs-Dehnungs-Kurve

Eine Spannungs-Dehnungs-Kurve zeigt, wie sich ein Material verformt, wenn die Belastung zunimmt, meist bei einem Zugversuch. Mit ihr lassen sich vier Dinge schnell ablesen: die Steifigkeit, der Beginn bleibender Verformung, die maximal erreichte technische Spannung und wie sich das Material dem Bruch nähert.

In der üblichen technischen Darstellung des Diagramms ist die vertikale Achse die Spannung und die horizontale Achse die Dehnung:

$$\sigma = \frac{F}{A_0}$$

und

$$\epsilon = \frac{\Delta L}{L_0}$$

wobei $\sigma$ die technische Spannung, $\epsilon$ die technische Dehnung, $F$ die aufgebrachte Kraft, $A_0$ die ursprüngliche Querschnittsfläche, $\Delta L$ die Längenänderung und $L_0$ die ursprüngliche Länge ist. Das Wort „technisch“ ist wichtig, weil diese Formeln die ursprünglichen Abmessungen der Probe verwenden.

So liest man eine Spannungs-Dehnungs-Kurve

Der erste Teil der Kurve ist oft annähernd eine Gerade. In diesem linear-elastischen Bereich kehrt das Material näherungsweise in seine ursprüngliche Form zurück, wenn man die Last entfernt. Die Steigung dieses geraden Abschnitts ist der Elastizitätsmodul:

$$E = \frac{\Delta \sigma}{\Delta \epsilon}$$

Wenn die Gerade nahe durch den Ursprung verläuft, kann man an einem Punkt innerhalb dieses Bereichs auch $E \approx \sigma / \epsilon$ verwenden. Diese Bedingung ist wichtig: Sobald sich die Kurve deutlich krümmt, liefert diese Abkürzung nicht mehr den Elastizitätsmodul.

Nach dem elastischen Teil erreichen viele Materialien die Streckgrenze und gehen in einen plastischen Bereich über. In diesem Bereich bleibt nach dem Entlasten eine bleibende Verformung zurück. Bei einem typischen duktilen Material unter Zug kann die technische Spannung weiter bis zu einem Maximum ansteigen, das Zugfestigkeit genannt wird, und danach abfallen, wenn sich vor dem Bruch eine Einschnürung bildet.

Nicht jedes Material zeigt dieselbe Form. Spröde Materialien können schon nach sehr geringer plastischer Verformung brechen, und manche Materialien haben keinen scharfen, klar erkennbaren Streckpunkt.

Rechenbeispiel: Elastischer Bereich, Streckgrenze und Spitzenspannung

Angenommen, eine Probe befindet sich im linearen Teil ihrer Spannungs-Dehnungs-Kurve an dem Punkt

$$\epsilon = 0.0015,\qquad \sigma = 300\ \mathrm{MPa}$$

Da dieser Punkt im linear-elastischen Bereich liegt, kann man den Elastizitätsmodul aus der Steigung abschätzen. Wenn der gerade Teil des Diagramms nahe durch den Ursprung verläuft, gilt hier

$$E = \frac{\sigma}{\epsilon} = \frac{300\ \mathrm{MPa}}{0.0015} = 200{,}000\ \mathrm{MPa} = 200\ \mathrm{GPa}$$

Nehmen wir nun an, dieselbe Kurve beginnt bei etwa $350\ \mathrm{MPa}$ bleibende Verformung zu zeigen und erreicht eine maximale technische Spannung von $480\ \mathrm{MPa}$, bevor die technische Spannung zu fallen beginnt.

Das ergibt eine praktische Deutung der Kurve:

• Der Punkt bei $300\ \mathrm{MPa}$ liegt noch im elastischen Bereich.
• Bei etwa $350\ \mathrm{MPa}$ beginnt das Fließen, daher würde Entlasten danach eine bleibende Dehnung hinterlassen.
• Das Maximum nahe $480\ \mathrm{MPa}$ ist die Zugfestigkeit der technischen Kurve, nicht unbedingt der Bruchpunkt.
• Der abfallende Teil nach dem Maximum bedeutet nicht, dass sich die Probe erholt. In einem duktilen Zugversuch spiegelt er meist die Einschnürung wider, während die technische Spannung noch mit der ursprünglichen Fläche berechnet wird.

Ein einziges Diagramm zeigt damit sowohl Steifigkeit als auch Festigkeit, weshalb eine Spannungs-Dehnungs-Kurve nützlicher ist als eine einzelne Zahl für die Bruchkraft.

Häufige Fehler beim Lesen der Kurve

• Eine Spannungs-Dehnungs-Kurve so zu behandeln, als wäre sie dasselbe wie ein Kraft-Verlängerungs-Diagramm.
• Daten aus einem gekrümmten Bereich zur Berechnung des Elastizitätsmoduls zu verwenden.
• Anzunehmen, dass jedes Material einen klaren, scharfen Streckpunkt hat.
• Zu vergessen, ob das Diagramm technische Spannungs-Dehnungs-Werte oder wahre Spannungs-Dehnungs-Werte verwendet.
• Zu denken, dass der höchste Punkt der technischen Kurve automatisch der Punkt ist, an dem der Bruch auftritt.

Wo Spannungs-Dehnungs-Kurven verwendet werden

Spannungs-Dehnungs-Kurven werden in der Werkstoffprüfung, im Konstruktionsentwurf, in der Fertigung und in der Schadensanalyse verwendet. Sie helfen Ingenieurinnen und Ingenieuren, Steifigkeit, Festigkeit, Duktilität und Zähigkeit zu vergleichen, wenn ein Material für einen bestimmten Einsatz ausgewählt wird.

Sie sind auch in der Physik und in frühen Ingenieurkursen wichtig, weil sie Kraft, Fläche, Verformung, Elastizität und bleibende Änderung in einem einzigen Bild zusammenführen.

Versuche eine ähnliche Aufgabe

Probiere deine eigene Variante mit einem Punkt aus dem linear-elastischen Bereich und schätze $E$ ab. Vergleiche ihn dann mit einem Punkt nach der Streckgrenze und sieh, warum dieselbe Abkürzung nicht mehr funktioniert, sobald das Diagramm nicht mehr linear ist.