法拉第定律——电磁感应与楞次定律

法拉第定律指出，穿过回路的磁通量发生变化时，会产生感应电动势。仅仅存在磁场还不够。如果穿过回路的磁通量保持不变，感应电动势就是零。

对于一个有 $N$ 匝的线圈，

$$\mathcal{E} = -N \frac{d\Phi_B}{dt}$$

这里，$\mathcal{E}$ 是感应电动势，$\Phi_B$ 是每一匝中的磁通量。负号来自楞次定律：感应电流总是试图阻碍磁通量的变化。

磁通量表示穿过回路的磁场多少

磁通量用来衡量有多少磁场穿过一个回路。对于处在均匀磁场中的平面回路，

$$\Phi_B = BA \cos \theta$$

这里，$\theta$ 是磁场方向与回路面积矢量之间的夹角，而面积矢量垂直于回路表面。这个公式默认磁场在线圈范围内是均匀的，并且回路可以看作平面。

在这种情况下，磁通量通常有三种变化方式：

1. 磁场强度 $B$ 变化。
2. 回路面积 $A$ 变化。
3. 回路转动，从而使角度 $\theta$ 变化。

如果这些量都不变，那么磁通量保持不变，也就不会产生感应电动势。

磁通量变化越大，感应电动势越大

法拉第定律本质上描述的是“变化率”。在相同时间内，磁通量变化越大，感应电动势就越大。相同的变化如果分布在更长时间内，感应电动势就会更小。

这就是为什么把磁铁快速插入线圈，通常会比慢慢插入产生更大的感应电动势。具体装置可以不同，但规律相同：磁通量变化越快，感应电动势越大。

楞次定律决定方向

楞次定律给出感应效应的方向。它指出，感应电流会产生自己的磁效应，而这个方向总是阻碍磁通量的变化。

这句话很重要。感应电流并不总是反抗原来的磁场，它反抗的是磁通量的变化。如果穿过回路的磁通量在增大，感应电流就会设法减弱这种增大；如果磁通量在减小，感应电流就会设法阻止这种减小。

例题：穿过线圈的磁场增大

设一个线圈有 $N = 50$ 匝，面积为 $A = 0.020\ \mathrm{m^2}$。一个均匀磁场垂直于回路表面，因此 $\cos \theta = 1$。磁场在 $0.20\ \mathrm{s}$ 内从 $0.10\ \mathrm{T}$ 增加到 $0.40\ \mathrm{T}$。

由于磁场垂直于回路，单匝磁通量为 $\Phi_B = BA$。每一匝的磁通量变化为

$$\Delta \Phi_B = A \Delta B = (0.020)(0.40 - 0.10) = 0.006\ \mathrm{Wb}$$

平均感应电动势的大小为

$$|\mathcal\{E\}| = N \frac\{|\Delta \Phi_B|\}\{\Delta t\}$$

所以

$$|\mathcal\{E\}| = 50 \cdot \frac\{0.006\}\{0.20\} = 1.5\ \mathrm\{V\}$$

因此，感应电动势的大小是 $1.5\ \mathrm{V}$。

至于方向，需要另外用楞次定律判断。由于磁通量在增大，感应电流必须产生一个磁效应来阻碍这种增大。

常见错误

有磁场存在，就一定有感应电动势

稳定的磁场穿过静止回路时，不会产生感应电动势。关键是磁通量必须发生变化。

不检查角度就直接使用 $\Phi_B = BA$

$\Phi_B = BA$ 只是在磁场垂直于回路、即 $\cos \theta = 1$ 时的特殊情况。一般情况下，在适用条件满足时应使用 $\Phi_B = BA \cos \theta$。

把负号只当成一个负数

法拉第定律中的负号主要表示方向。如果题目只要求感应电动势的大小，就取其绝对值，再用楞次定律判断方向。

忘记匝数

对于线圈，感应电动势与 $N$ 成正比。漏掉这个因子，会让答案小很多。

法拉第定律的应用

法拉第定律是发电机、变压器、电磁炉、吉他拾音器以及许多传感器背后的基本原理。虽然具体细节不同，但核心思想始终一样：磁通量变化会产生感应电动势。

它也是连接“场”和“电路”的一个清晰桥梁。变化的磁场情况会产生感应电动势，而在闭合回路中，这个感应电动势可以驱动电流。

试做一道类似题

保持同一个线圈不变，但让磁场变化发生在 $0.40\ \mathrm{s}$ 内，而不是 $0.20\ \mathrm{s}$。磁通量变化相同，因此感应电动势会减半。

如果你还想再试一种情况，可以不改变 $B$，而是让同一个线圈转动。这是在另一个角度上检验同一条定律。