Faradaysches Gesetz — elektromagnetische Induktion & Lenzsche Regel

Das Faradaysche Gesetz besagt, dass ein sich ändernder magnetischer Fluss durch eine Schleife eine elektrische Spannung induziert. Ein Magnetfeld allein reicht nicht aus. Wenn der Fluss durch die Schleife konstant bleibt, ist die induzierte Spannung null.

Für eine Spule mit $N$ Windungen gilt

$$\mathcal{E} = -N \frac{d\Phi_B}{dt}$$

Hier ist $\mathcal{E}$ die induzierte Spannung und $\Phi_B$ der magnetische Fluss durch eine Windung. Das Minuszeichen kommt von der Lenzschen Regel: Der induzierte Strom wirkt der Änderung des Flusses entgegen.

Magnetischer Fluss bedeutet: Feld tritt durch die Schleife

Der magnetische Fluss misst, wie viel Magnetfeld durch eine Schleife hindurchtritt. Für eine ebene Schleife in einem homogenen Magnetfeld gilt

$$\Phi_B = BA \cos \theta$$

Hier ist $\theta$ der Winkel zwischen dem Magnetfeld und dem Flächenvektor der Schleife, der senkrecht auf ihrer Oberfläche steht. Diese Formel setzt voraus, dass das Feld über die Schleife hinweg homogen ist und die Schleife als eben behandelt werden kann.

In diesem Fall kann sich der Fluss auf drei typische Arten ändern:

1. Die Feldstärke $B$ ändert sich.
2. Die Fläche der Schleife $A$ ändert sich.
3. Der Winkel $\theta$ ändert sich, weil sich die Schleife dreht.

Wenn sich nichts davon ändert, bleibt der Fluss konstant und es wird keine Spannung induziert.

Größere Flussänderung bedeutet größere Spannung

Das Faradaysche Gesetz beschreibt eine Änderungsrate. Eine größere Flussänderung in derselben Zeit ergibt eine größere Spannung. Dieselbe Änderung über eine längere Zeit verteilt ergibt eine kleinere Spannung.

Deshalb erzeugt ein Magnet, der schnell in eine Spule bewegt wird, meist eine größere induzierte Spannung als bei langsamer Bewegung. Der genaue Aufbau kann variieren, aber das Muster ist immer gleich: schnellere Flussänderung, größere Spannung.

Die Lenzsche Regel legt die Richtung fest

Die Lenzsche Regel gibt die Richtung des induzierten Effekts an. Sie besagt, dass der induzierte Strom ein eigenes magnetisches Feld in einer Richtung erzeugt, die der Flussänderung entgegenwirkt.

Diese Formulierung ist wichtig. Der Strom wirkt nicht immer dem ursprünglichen Magnetfeld entgegen. Er wirkt der Änderung des Flusses entgegen. Wenn der Fluss durch die Schleife zunimmt, wirkt der induzierte Strom so, dass diese Zunahme verringert wird. Wenn der Fluss abnimmt, wirkt der induzierte Strom so, dass diese Abnahme gebremst wird.

Durchgerechnetes Beispiel: Ein Magnetfeld nimmt in einer Spule zu

Angenommen, eine Spule hat $N = 50$ Windungen und die Fläche $A = 0.020\ \mathrm{m^2}$. Ein homogenes Magnetfeld zeigt senkrecht zur Oberfläche der Schleife, also ist $\cos \theta = 1$. Das Feld steigt in $0.20\ \mathrm{s}$ von $0.10\ \mathrm{T}$ auf $0.40\ \mathrm{T}$.

Weil das Feld senkrecht zur Schleife steht, ist der Fluss durch eine Windung $\Phi_B = BA$. Die Flussänderung pro Windung ist

$$\Delta \Phi_B = A \Delta B = (0.020)(0.40 - 0.10) = 0.006\ \mathrm{Wb}$$

Der Betrag der durchschnittlich induzierten Spannung ist

$$|\mathcal\{E\}| = N \frac\{|\Delta \Phi_B|\}\{\Delta t\}$$

Also

$$|\mathcal\{E\}| = 50 \cdot \frac\{0.006\}\{0.20\} = 1.5\ \mathrm\{V\}$$

Die induzierte Spannung hat also den Betrag $1.5\ \mathrm{V}$.

Für die Richtung verwendet man die Lenzsche Regel separat. Da der magnetische Fluss zunimmt, muss der induzierte Strom einen magnetischen Effekt erzeugen, der dieser Zunahme entgegenwirkt.

Häufige Fehler

Ein Magnetfeld ist vorhanden, also muss es eine Spannung geben

Ein konstantes Magnetfeld durch eine ruhende Schleife induziert keine Spannung. Der Fluss muss sich ändern.

$\Phi_B = BA$ verwenden, ohne den Winkel zu prüfen

$\Phi_B = BA$ ist nur der Spezialfall, bei dem das Feld senkrecht zur Schleife steht, also $\cos \theta = 1$. Im Allgemeinen verwendet man $\Phi_B = BA \cos \theta$, wenn die Voraussetzungen dafür erfüllt sind.

Das Minuszeichen nur als negative Zahl behandeln

Das Minuszeichen im Faradayschen Gesetz betrifft vor allem die Richtung. Wenn in einer Aufgabe nur nach dem Betrag der Spannung gefragt wird, verwendet man den Betrag und bestimmt die Richtung mit der Lenzschen Regel.

Die Anzahl der Windungen vergessen

Bei einer Spule skaliert die induzierte Spannung mit $N$. Fehlt dieser Faktor, kann das Ergebnis viel zu klein sein.

Wo das Faradaysche Gesetz verwendet wird

Das Faradaysche Gesetz steckt hinter Generatoren, Transformatoren, Induktionskochfeldern, Gitarren-Tonabnehmern und vielen Sensoren. Die Details unterscheiden sich, aber die gleiche Grundidee taucht jedes Mal auf: Ein sich ändernder magnetischer Fluss induziert eine Spannung.

Es ist außerdem eine klare Verbindung zwischen Feldern und Stromkreisen. Eine veränderliche magnetische Situation erzeugt eine Spannung, und in einer geschlossenen Schleife kann diese Spannung einen Strom treiben.

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Nimm dieselbe Spule, aber lass die Feldänderung in $0.40\ \mathrm{s}$ statt in $0.20\ \mathrm{s}$ stattfinden. Die Flussänderung ist gleich, also halbiert sich die induzierte Spannung.

Wenn du noch einen weiteren Fall willst, versuche dieselbe Spule zu drehen, statt $B$ zu ändern. Damit prüfst du dasselbe Gesetz aus einer anderen Perspektive.