패러데이 법칙 — 전자기 유도와 렌츠의 법칙

패러데이 법칙은 고리를 지나는 자기선속이 변하면 유도기전력(emf)이 생긴다고 말합니다. 자기장만 존재한다고 해서 충분한 것은 아닙니다. 고리를 지나는 선속이 일정하게 유지되면 유도기전력은 0입니다.

감은 수가 $N$인 코일에 대해,

$$\mathcal{E} = -N \frac{d\Phi_B}{dt}$$

여기서 $\mathcal{E}$는 유도기전력이고, $\Phi_B$는 한 바퀴를 지나는 자기선속입니다. 마이너스 부호는 렌츠의 법칙에서 나오며, 유도 전류가 선속의 변화를 방해하는 방향으로 작용함을 뜻합니다.

자기선속은 고리를 통과하는 자기장의 양이다

자기선속은 얼마나 많은 자기장이 고리를 통과하는지를 나타냅니다. 균일한 자기장 속에 놓인 평평한 고리에서는

$$\Phi_B = BA \cos \theta$$

여기서 $\theta$는 자기장과 고리의 면적벡터 사이의 각도이며, 면적벡터는 고리의 면에 수직입니다. 이 식은 자기장이 고리 전체에 걸쳐 균일하고, 고리를 평면으로 볼 수 있을 때 성립합니다.

이 상황에서 선속은 보통 세 가지 방식으로 변할 수 있습니다.

1. 자기장 세기 $B$가 변한다.
2. 고리의 넓이 $A$가 변한다.
3. 고리가 회전하여 각도 $\theta$가 변한다.

이들 중 어느 것도 변하지 않으면 선속은 일정하고, 유도기전력도 생기지 않습니다.

선속 변화가 클수록 유도기전력도 크다

패러데이 법칙은 변화율에 관한 법칙입니다. 같은 시간 동안 선속이 더 크게 변하면 유도기전력도 더 커집니다. 반대로 같은 변화가 더 긴 시간에 걸쳐 일어나면 유도기전력은 더 작아집니다.

그래서 자석을 코일 안으로 빠르게 움직이면 보통 천천히 움직일 때보다 더 큰 유도기전력이 생깁니다. 구체적인 장치는 달라도 핵심 패턴은 같습니다. 선속 변화가 빠를수록 유도기전력이 큽니다.

방향은 렌츠의 법칙이 정한다

렌츠의 법칙은 유도 효과의 방향을 알려 줍니다. 유도 전류는 자기선속의 변화를 방해하는 방향으로 자기적 효과를 만든다고 말합니다.

이 표현이 중요합니다. 전류가 항상 원래의 자기장을 방해하는 것은 아닙니다. 방해하는 것은 선속의 변화입니다. 고리를 지나는 선속이 증가하면, 유도 전류는 그 증가를 줄이는 방향으로 작용합니다. 선속이 감소하면, 유도 전류는 그 감소를 막는 방향으로 작용합니다.

예제: 코일을 지나는 자기장이 증가하는 경우

어떤 코일의 감은 수가 $N = 50$이고 넓이가 $A = 0.020\ \mathrm{m^2}$라고 합시다. 균일한 자기장은 고리의 면에 수직한 방향을 향하므로 $\cos \theta = 1$입니다. 자기장은 $0.10\ \mathrm{T}$에서 $0.40\ \mathrm{T}$로 $0.20\ \mathrm{s}$ 동안 증가합니다.

자기장이 고리에 수직이므로, 한 바퀴를 지나는 선속은 $\Phi_B = BA$입니다. 한 바퀴당 선속 변화는

$$\Delta \Phi_B = A \Delta B = (0.020)(0.40 - 0.10) = 0.006\ \mathrm{Wb}$$

평균 유도기전력의 크기는

$$|\mathcal\{E\}| = N \frac\{|\Delta \Phi_B|\}\{\Delta t\}$$

따라서

$$|\mathcal\{E\}| = 50 \cdot \frac\{0.006\}\{0.20\} = 1.5\ \mathrm\{V\}$$

즉, 유도기전력의 크기는 $1.5\ \mathrm{V}$입니다.

방향은 렌츠의 법칙으로 따로 판단합니다. 자기선속이 증가하고 있으므로, 유도 전류는 그 증가를 방해하는 자기적 효과를 만들어야 합니다.

자주 하는 실수

자기장이 있으니 반드시 유도기전력이 생긴다

일정한 고리를 지나는 일정한 자기장은 유도기전력을 만들지 않습니다. 선속이 변해야 합니다.

각도를 확인하지 않고 $\Phi_B = BA$를 사용한다

$\Phi_B = BA$는 자기장이 고리에 수직이어서 $\cos \theta = 1$인 특별한 경우에만 성립합니다. 일반적으로는 조건이 맞을 때 $\Phi_B = BA \cos \theta$를 사용해야 합니다.

마이너스 부호를 단순히 음수로만 본다

패러데이 법칙의 마이너스 부호는 주로 방향을 나타냅니다. 문제가 유도기전력의 크기만 묻는다면 절댓값을 사용하고, 방향은 렌츠의 법칙으로 따로 판단하면 됩니다.

감은 수를 빼먹는다

코일에서는 유도기전력이 $N$에 비례합니다. 이 인자를 빠뜨리면 답이 지나치게 작아질 수 있습니다.

패러데이 법칙은 어디에 쓰일까

패러데이 법칙은 발전기, 변압기, 인덕션 레인지, 기타 픽업, 여러 센서의 원리에 깔려 있습니다. 세부 구조는 달라도, 자기선속의 변화가 유도기전력을 만든다는 핵심 아이디어는 같습니다.

이 법칙은 장과 회로를 깔끔하게 연결해 주기도 합니다. 자기적인 상황이 변하면 유도기전력이 생기고, 닫힌 회로에서는 그 유도기전력이 전류를 흐르게 할 수 있습니다.

비슷한 문제를 풀어 보자

같은 코일을 그대로 두고, 자기장 변화가 $0.20\ \mathrm{s}$가 아니라 $0.40\ \mathrm{s}$ 동안 일어난다고 해 봅시다. 선속 변화량은 같으므로 유도기전력은 절반이 됩니다.

한 가지 경우를 더 해 보고 싶다면, 이번에는 $B$를 바꾸는 대신 같은 코일을 회전시켜 보세요. 같은 법칙을 다른 관점에서 확인하는 연습이 됩니다.