圆的切线——性质与定理

圆的切线是与圆恰好只有一个公共点的直线。最关键的定理是：过切点的半径与切线垂直，因此切线问题常常很快就能转化为直角三角形问题或角度问题。

如果一条直线看起来只是碰到了圆，在没有明确满足切线条件之前，不要使用切线定理。大多数错误都出在把割线或普通直线当成切线上。

圆的切线：基本性质

如果直线 $l$ 在点 $T$ 处与圆相切，那么

$$OT \perp l$$

其中 $O$ 是圆心。

这通常叫作半径—切线定理。这里的条件很重要：半径必须终止在切线与圆接触的那个点。

切线与割线

切线与圆只有一个交点。割线会穿过圆，并与圆有两个交点。

这个区别在图上看起来可能很小，但在证明中非常重要。切线定理不能直接用于割线或弦。

同一圆外一点引出的两条切线相等

如果从同一个圆外点 $P$ 向圆引两条切线，切点分别为 $A$ 和 $B$，那么它们的长度相等：

$$PA = PB$$

当已知一条切线长、另一条未知时，这个性质很有用。这里的条件也很重要：两条切线必须来自同一个圆外点。

例题：求切线的长度

设一个圆的圆心为 $O$。从圆外一点 $P$ 引一条切线，与圆相切于点 $T$。已知

$$OT = 5$$

以及

$$OP = 13.$$

求切线长 $PT$。

因为 $OT$ 是连到切点的半径，所以它与切线垂直。因此三角形 $OPT$ 是一个直角三角形，且直角在 $T$ 点。

使用勾股定理：

$$OP^2 = OT^2 + PT^2$$

代入数值：

$$13^2 = 5^2 + PT^2$$ $$169 = 25 + PT^2$$ $$PT^2 = 144$$ $$PT = 12$$

所以这条切线段的长度是 $12$。

这就是求切线长的标准思路：先找出切点，标出直角，再解这个直角三角形。

切线问题中的常见错误

垂直并不一定表示相切

一条直线与某条半径垂直，只有当它经过这条半径在圆上的端点时，才是切线。在别的位置垂直还不够。

割线不是切线

如果一条直线在两个点处穿过圆，那么它是割线，不是切线。在这种情况下使用切线性质会得到错误结果。

两条相等的切线必须来自同一个外点

性质 $PA = PB$ 只适用于：两条切线段都从同一个圆外点引向同一个圆。

直角的位置是固定的

直角出现在切线与“连到切点的半径”之间。它并不会自动出现在切线与圆心或外点连出的任意线段之间。

圆的切线有哪些应用

圆的切线常见于学校几何、解析几何，以及与角度和长度有关的图形证明中。它还会引出一些相关内容，例如切线与弦所成的角、圆的作图，以及点的幂问题。

动手前快速检查

当你看到切线时，先问自己：

1. 切点在哪里？
2. 哪一条半径连到这个点？
3. 这是否构成了直角三角形，或者是“两条切线相等”的情形？

这三个检查步骤能在你开始计算之前，发现大多数设定上的错误。

试试类似的问题

你可以用相同的图形关系、换一组数字自己做一题，例如取 $OT = 7$、$OP = 25$。求出 $PT$，然后检查答案在几何上是否合理。如果你想马上再做一个例子，可以在 GPAI Solver 中继续探索类似的圆几何问题。