원의 접선 — 성질과 정리

원의 접선은 원과 정확히 한 점에서만 만나는 직선입니다. 가장 중요한 정리는 접점까지의 반지름이 접선에 수직이라는 것이며, 그래서 접선 문제는 매우 빠르게 직각삼각형 문제나 각도 문제로 바뀌는 경우가 많습니다.

직선이 원에 닿아 보이기만 한다면, 그 조건이 분명해지기 전까지는 접선 정리를 사용하면 안 됩니다. 대부분의 실수는 할선이나 일반적인 직선을 접선처럼 다룰 때 생깁니다.

원의 접선: 핵심 성질

직선 $l$이 점 $T$에서 원에 접한다면,

$$OT \perp l$$

여기서 $O$는 원의 중심입니다.

이것을 흔히 반지름-접선 정리라고 합니다. 조건이 중요합니다. 반지름은 접선이 원에 닿는 바로 그 점에서 끝나야 합니다.

접선과 할선

접선은 원과 한 번 만납니다. 할선은 원을 가로질러 지나가며 두 점에서 만납니다.

그 차이는 그림에서는 작아 보여도 증명에서는 중요합니다. 접선 정리는 할선이나 현에 자동으로 적용되지 않습니다.

한 외부점에서 그은 두 접선의 길이

같은 외부점 $P$에서 원에 두 접선을 그어 각각 $A$와 $B$에서 원에 닿는다면, 그 길이는 서로 같습니다:

$$PA = PB$$

이 성질은 한 접선의 길이는 알고 있고 다른 하나가 미지수일 때 유용합니다. 조건이 중요합니다. 두 접선은 반드시 같은 외부점에서 나와야 합니다.

예제: 접선의 길이 구하기

중심이 $O$인 원이 있다고 합시다. 외부점 $P$에서 그은 접선이 점 $T$에서 원에 접합니다. 다음과 같이 주어졌습니다.

$$OT = 5$$

그리고

$$OP = 13.$$

접선의 길이 $PT$를 구하세요.

$OT$는 접점까지의 반지름이므로 접선에 수직입니다. 따라서 삼각형 $OPT$는 $T$에서 직각을 이루는 직각삼각형입니다.

피타고라스 정리를 사용하면,

$$OP^2 = OT^2 + PT^2$$

값을 대입하면,

$$13^2 = 5^2 + PT^2$$ $$169 = 25 + PT^2$$ $$PT^2 = 144$$ $$PT = 12$$

따라서 접선분의 길이는 $12$입니다.

이것이 접선 길이 문제의 전형적인 풀이 흐름입니다. 접점을 찾고, 직각을 표시한 뒤, 직각삼각형을 풀면 됩니다.

접선 문제에서 자주 하는 실수

수직이라고 해서 항상 접선은 아니다

직선이 반지름에 수직이라고 해서 항상 접선인 것은 아닙니다. 그 직선이 원 위의 반지름 끝점을 지나야만 접선입니다. 다른 곳에서 수직인 것만으로는 충분하지 않습니다.

할선은 접선이 아니다

직선이 원을 두 점에서 가르면 그것은 접선이 아니라 할선입니다. 이 경우 접선의 성질을 사용하면 잘못된 결과가 나옵니다.

같은 외부점이어야 두 접선의 길이가 같다

$PA = PB$라는 성질은 두 접선분이 같은 원에 대해 같은 외부점에서 나올 때만 적용됩니다.

직각은 특정한 위치에 있다

직각은 접선과 접점까지의 반지름 사이에 생깁니다. 중심이나 외부점에서 그은 모든 선분과 접선 사이에 자동으로 생기는 것이 아닙니다.

원의 접선은 어디에 쓰일까?

원의 접선은 학교 기하, 좌표기하, 그리고 각과 길이에 관한 도형 증명에서 자주 등장합니다. 또한 접선과 현이 이루는 각, 원의 작도, 점의 멱과 같은 관련 개념으로도 이어집니다.

풀기 전에 빠르게 확인할 것

접선을 보면 다음을 물어보세요.

1. 접점은 어디인가?
2. 그 점으로 가는 반지름은 무엇인가?
3. 그로 인해 직각삼각형이 만들어지는가, 아니면 같은 외부점에서 그은 두 접선의 구조인가?

이 세 가지를 먼저 확인하면 계산을 시작하기 전에 대부분의 설정 실수를 잡을 수 있습니다.

비슷한 문제를 풀어 보세요

같은 구조에서 수만 바꿔 직접 풀어 보세요. 예를 들어 $OT = 7$, $OP = 25$일 때 $PT$를 구해 보세요. 답을 구한 뒤에는 그 값이 도형적으로도 타당한지 확인해 보세요. 바로 다른 예제를 보고 싶다면 GPAI Solver에서 비슷한 원 기하 문제를 살펴보세요.