円の接線 — 性質と定理

円の接線とは、円にただ1点で接する直線のことです。最も重要な定理は、接点に引いた半径は接線に垂直になるというもので、接線の問題はすぐに直角三角形や角度の問題に置き換えられることがよくあります。

見た目だけで円に触れているように見える直線には注意しましょう。接線であることがはっきりするまでは、接線の定理を使ってはいけません。多くのミスは、割線や普通の直線を接線として扱ってしまうことから起こります。

円の接線の基本性質

直線 $l$ が点 $T$ で円に接しているなら、

OT \perp l

が成り立ちます。ここで、 $O$ は円の中心です。

これは半径と接線の定理と呼ばれることがよくあります。条件が大切で、半径は接線が円に触れているその接点まで引かれていなければなりません。

接線は円と1回だけ交わります。割線は円を横切り、2点で円と交わります。

図ではその違いは小さく見えるかもしれませんが、証明ではとても重要です。接線の定理は、割線や弦にそのまま使えるわけではありません。

同じ外部の点 $P$ から円に2本の接線を引き、それぞれの接点を $A$ 、 $B$ とすると、その長さは等しくなります。

PA = PB

これは、1本の接線の長さがわかっていて、もう1本が不明なときに便利です。ただし条件が重要で、2本の接線は同じ外部の点から引かれていなければなりません。

中心が $O$ の円を考えます。外部の点 $P$ から引いた接線が点 $T$ で円に接しているとします。

OT = 5

また、

OP = 13

とします。

接線の長さ $PT$ を求めましょう。

$OT$ は接点に引いた半径なので、接線に垂直です。したがって、三角形 $OPT$ は $T$ を直角とする直角三角形になります。

三平方の定理を使うと、

OP^2 = OT^2 + PT^2

値を代入して、

13^2 = 5^2 + PT^2

169 = 25 + PT^2

PT^2 = 144

PT = 12

となります。

したがって、接線の線分の長さは $12$ です。

これが接線の長さを求める基本パターンです。まず接点を確認し、直角を記入してから、直角三角形を解きます。

ある直線が半径に垂直であっても、その直線が円周上の半径の端点を通っているときに限って接線です。別の場所で垂直になっているだけでは不十分です。

直線が円を2点で切っているなら、それは接線ではなく割線です。そこで接線のルールを使うと、誤った答えになります。

$PA = PB$ という関係は、同じ円に対して同じ外部の点から引いた2本の接線にしか使えません。

直角ができるのは、接線と接点に引いた半径の間です。中心や外部の点から引いたどの線分との間でも自動的に直角になるわけではありません。

円の接線は、学校の図形、座標幾何、角度や長さに関する図の証明でよく登場します。また、接弦定理、円の作図、方べきの問題など、関連する考え方にもつながっていきます。

接線を見たら、次のことを確認しましょう。

この3つを確認するだけで、計算を始める前に多くの設定ミスを防げます。

同じ設定で数値だけを変えた問題も試してみましょう。たとえば $OT = 7$ 、 $OP = 25$ として、 $PT$ を求めてみてください。そのあと、答えが図形的に自然かどうかも確認しましょう。すぐに別の例も見たいなら、GPAI Solver で似た円の図形問題を調べてみてください。

問題をアップロードすると、検証済みのステップバイステップ解答が数秒で届きます。